神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 流体力学 第2問

标签：

• 神户大学
• 流量测量
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

水平管を流れる密度 $\rho$、粘性係数 $\mu$ の非圧縮性流体の体積流量 $Q$ をベンチュリ管で測定する。入口①、のど②、出口③の断面積を $S_1,S_2,S_3$、圧力を $P_1,P_2,P_3$ とする。①–②間のマノメータには密度 $\rho_m>\rho$ の液体が入り、液面差は $h$。③から大気圧 $P_\infty$ 中へ噴出し、静止した鉛直無限平板へ垂直に衝突した後、平板に沿って流れる。重力加速度は $g$。

1. 粘性損失を無視して①–②間のベルヌーイの式を立てよ。
2. 圧力差 $P_1-P_2$ を $\rho,Q,S_1,S_2$ で表せ。
3. 損失を無視したときの $h,Q$ の関係を導け。
4. ①–②間で圧力損失 $\Delta P$ があるときの $h,Q$ の関係を導け。
5. 噴流断面積が $S_3$ に等しいとして、平板が流体から受ける力 $F$ と $S_3$ の関係を導け。

题目描述

水平文丘里管中不可压流体密度 $\rho$、黏度 $\mu$、体积流量 $Q$，入口、喉部、出口的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$。入口与喉部接差压计，封液密度 $\rho_m>\rho$、液位差 $h$。出口射流在大气中垂直撞击静止无限竖直板后沿板流走。（1）写无损伯努利式；（2）求压差；（3）求无损时液位差和流量的关系；（4）加入压损 $\Delta P$；（5）求板受力和喷口面积的关系。

Kai

(1), (2)

連続の式より $V_i=Q/S_i$。同じ高さの2断面について

$$\boxed{P_1+\frac\rho2V_1^2=P_2+\frac\rho2V_2^2},\qquad \boxed{P_1-P_2=\frac{\rho Q^2}{2}\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)}.$$

(3)

①側の重液面が②側より $h$ 低い。両脚の同じ高さで圧力を等置すると

$$P_1-P_2=(\rho_m-\rho)gh.$$

従って $S_1>S_2$ として

$$\boxed{Q=\frac{S_1S_2}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}\sqrt{\frac{2(\rho_m-\rho)gh}{\rho}}}.$$

(4)

損失を下流側に加えると

$$P_1+\frac\rho2V_1^2=P_2+\frac\rho2V_2^2+\Delta P.$$

マノメータの静水圧関係は変わらないため

$$\boxed{(\rho_m-\rho)gh=\frac{\rho Q^2}{2}\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)+\Delta P},$$

$$\boxed{Q=\frac{S_1S_2}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}\sqrt{\frac{2\{(\rho_m-\rho)gh-\Delta P\}}\rho}}.$$

根号内が非負の範囲であり、$\Delta P$ が流量に依存するときはこの関係を連立して解く。

(5)

平板に沿う流出には噴流方向の速度成分がない。周囲大気圧を基準に運動量収支を書くと

$$-F=0-\rho QV_3.$$

従って

$$\boxed{F=\rho QV_3=\frac{\rho Q^2}{S_3}}.$$

力は噴流方向で、流量一定なら $S_3$ に反比例する。ここでは通常の1次元噴流モデルとして断面平均速度 $Q/S_3$ を用いた。

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 流体力学、PDF 1ページ