神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 流体力学 第1問

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• 神户大学
• 涡度与流函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

流れ関数 $\psi(x,y)=y/(x^2+y^2)$ で表される定常2次元非圧縮非粘性流れについて答えよ。

1. 速度の $x,y$ 方向成分 $u,v$ を求めよ。
2. 流線の勾配を求めよ。
3. $xy$ 平面上に流線の模式図を、流れの方向も含めて描け。
4. 複素速度ポテンシャルが $f(z)=-1/z$（$z=x+iy$）のとき、速度ポテンシャル $\phi(x,y)$ を求めよ。

题目描述

给定稳态二维不可压无黏流动的流函数 $\psi=y/(x^2+y^2)$。（1）求速度分量；（2）求流线斜率；（3）画出带方向的流线；（4）由复势 $f(z)=-1/z$ 求速度势。

Kai

(1)

原点を除く領域で、$u=\psi_y,v=-\psi_x$ より

$$\boxed{u=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad v=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}.$$

(2)

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac vu=\frac{2xy}{x^2-y^2}}.$$

$x^2=y^2\ne0$ では接線は鉛直である。

(3)

$\psi=C\ne0$ を変形すると

$$\boxed{x^2+\left(y-\frac1{2C}\right)^2=\frac1{4C^2}}.$$

原点で $x$ 軸に接する円群となる。ただし原点自体は特異点で流れの定義域に含まれない。$C=0$ は原点を除く $x$ 軸である。$y=0$ で $u>0$、$x=0$ で $u<0$ より、上半面は反時計回り、下半面は時計回り。

(4)

$$f(z)=-\frac{x-iy}{x^2+y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}.$$

$f=\phi+i\psi$ の実部を取って $\boxed{\phi=-x/(x^2+y^2)}$。

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 流体力学、PDF 1ページ