神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 流体力学 第2問

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• 神户大学
• 流量测量
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題[1]，[2]は別々の答案用紙に解答すること。

[2] 下図のように水平に設置された円管から噴出され，平板に衝突する密度 $\rho$，粘性係数 $\mu$ の非圧縮性粘性流体の体積流量 $Q$ をベンチュリ管で測定している。流れは定常であり，流体は管入り口（断面①），のど部（断面②）を通過後，管路出口（断面③）から大気中（圧力 $P_\infty$）に噴出し，静止した鉛直無限平板に直角に衝突した後，平板に沿って流出している。$S$ および $P$ は，それぞれ管断面積および圧力を示し，添字1，2および3は，それぞれ，断面①，②および③を示す。また，断面①–②間にはマノメータが設置されており，密度 $\rho_m\ (>\rho)$ の液体が入れられている。重力加速度は $g$ とし，以下の問いに答えなさい。ただし，設問(1)～(3)は粘性による損失が無視できるものとして答えなさい。

(1) 断面①–②間でベルヌーイの式を立てなさい。

(2) 断面①–②間の圧力差 $P_1-P_2$ を $\rho,Q,S_1,S_2$ を用いて表しなさい。

(3) マノメータの液位差 $h$ と体積流量 $Q$ の関係を導きなさい。

(4) 断面①–②間で粘性による圧力損失 $\Delta P$ が発生する時，$h$ と $Q$ の関係を導きなさい。

(5) 平板が流体から受ける力 $F$ と断面③における断面積 $S_3$ の関係を導きなさい。ただし，噴流の断面積は $S_3$ と等しいとする。

题目描述

问题[1]、[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[2] 如图，密度为 $\rho$、动力黏度为 $\mu$ 的不可压缩黏性流体从水平圆管喷出并冲击平板，其体积流量 $Q$ 由文丘里管测量。流动为稳态。流体经过管入口（截面①）和喉部（截面②），从管出口（截面③）喷入压力为 $P_\infty$ 的大气，垂直冲击静止的竖直无限大平板后沿平板流出。$S,P$ 分别表示管截面积和压力，下标1、2、3分别表示截面①、②、③。截面①与②之间设有压差计，内装密度 $\rho_m>\rho$ 的液体。重力加速度为 $g$。回答下列问题，其中第(1)～(3)问忽略黏性损失。

(1) 对截面①与②之间建立伯努利方程。

(2) 用 $\rho,Q,S_1,S_2$ 表示截面①与②之间的压差 $P_1-P_2$。

(3) 推导压差计液位差 $h$ 与体积流量 $Q$ 的关系。

(4) 若截面①与②之间因黏性产生压力损失 $\Delta P$，推导 $h$ 与 $Q$ 的关系。

(5) 推导平板受到的流体作用力 $F$ 与截面③的面积 $S_3$ 的关系。设喷流截面积等于 $S_3$。

图中保留了三个截面的位置、压差计液面、重力和流动方向。

Kai

(1), (2)

連続の式より $V_i=Q/S_i$。同じ高さの2断面について

$$\boxed{P_1+\frac\rho2V_1^2=P_2+\frac\rho2V_2^2},\qquad \boxed{P_1-P_2=\frac{\rho Q^2}{2}\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)}.$$

(3)

①側の重液面が②側より $h$ 低い。両脚の同じ高さで圧力を等置すると

$$P_1-P_2=(\rho_m-\rho)gh.$$

従って $S_1>S_2$ として

$$\boxed{Q=\frac{S_1S_2}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}\sqrt{\frac{2(\rho_m-\rho)gh}{\rho}}}.$$

(4)

損失を下流側に加えると

$$P_1+\frac\rho2V_1^2=P_2+\frac\rho2V_2^2+\Delta P.$$

マノメータの静水圧関係は変わらないため

$$\boxed{(\rho_m-\rho)gh=\frac{\rho Q^2}{2}\left(\frac1{S_2^2}-\frac1{S_1^2}\right)+\Delta P},$$

$$\boxed{Q=\frac{S_1S_2}{\sqrt{S_1^2-S_2^2}}\sqrt{\frac{2\{(\rho_m-\rho)gh-\Delta P\}}\rho}}.$$

根号内が非負の範囲であり、$\Delta P$ が流量に依存するときはこの関係を連立して解く。

(5)

平板に沿う流出には噴流方向の速度成分がない。周囲大気圧を基準に運動量収支を書くと

$$-F=0-\rho QV_3.$$

従って

$$\boxed{F=\rho QV_3=\frac{\rho Q^2}{S_3}}.$$

力は噴流方向で、流量一定なら $S_3$ に反比例する。ここでは通常の1次元噴流モデルとして断面平均速度 $Q/S_3$ を用いた。

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 流体力学、PDF 1ページ