神戸大学工学研究科機械工学専攻 2018年8月実施流体力学第1問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

問題[1]，[2]は別々の答案用紙に解答すること。

[1] 流れ関数 $\psi(x,y)=y/(x^2+y^2)$ により表される定常な二次元非圧縮非粘性流れについて考える。ここで， $x,y$ は二次元デカルト座標である。以下の問いに答えなさい。

(1) 速度 $\boldsymbol u$ の $x,y$ 方向成分 $u,v$ を求めなさい。

(2) 流線の勾配を $x,y$ の関数として求めなさい。

(3) 流線の模式図を， $xy$ 平面上に流れの方向もあわせて描きなさい。

(4) この流れの複素速度ポテンシャルは $f(z)=-1/z$ で与えられる。ここで， $z=x+iy$ ， $i$ は虚数単位である。この流れの速度ポテンシャル $\phi$ を $x,y$ の関数として求めなさい。

问题[1]、[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[1] 考虑由流函数 $\psi(x,y)=y/(x^2+y^2)$ 表示的稳态二维不可压缩无黏流动，其中 $x,y$ 为二维笛卡尔坐标。回答下列问题。

(1) 求速度 $\boldsymbol u$ 的 $x,y$ 方向分量 $u,v$ 。

(2) 将流线斜率表示为 $x,y$ 的函数。

(3) 在 $xy$ 平面上画出流线示意图，并标明流动方向。

(4) 该流动的复速度势为 $f(z)=-1/z$ ，其中 $z=x+iy$ ， $i$ 为虚数单位。将流动的速度势 $\phi$ 表示为 $x,y$ 的函数。

原点を除く領域で、 $u=\psi_y,v=-\psi_x$ より

\boxed{u=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\qquad v=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}.

\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac vu=\frac{2xy}{x^2-y^2}}.

$x^2=y^2\ne0$ では接線は鉛直である。

$\psi=C\ne0$ を変形すると

\boxed{x^2+\left(y-\frac1{2C}\right)^2=\frac1{4C^2}}.

原点で $x$ 軸に接する円群となる。ただし原点自体は特異点で流れの定義域に含まれない。 $C=0$ は原点を除く $x$ 軸である。 $y=0$ で $u>0$ 、 $x=0$ で $u<0$ より、上半面は反時計回り、下半面は時計回り。

上半面は反時計回り、下半面は時計回りの流線

f(z)=-\frac{x-iy}{x^2+y^2}=-\frac{x}{x^2+y^2}+i\frac{y}{x^2+y^2}.

$f=\phi+i\psi$ の実部を取って $\boxed{\phi=-x/(x^2+y^2)}$ 。