神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2018年8月実施 機械力学 第1問

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• 神户大学
• 刚体转动与滚动

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問題[1]，[2]は別々の答案用紙に解答すること。

[1] 鉛直2次元平面内における剛体の運動について，以下の問に答えよ。

(1) 半径 $R$，質量 $M$ の一様な円板がある。この円板について，摩擦のある傾斜角 $\phi$ の斜面上で静止させた状態から，円板の中心まわりに一定のトルク $T$ を与え続けた時の運動を考える。なお，以下の問において，並進運動は斜面との平行成分のみを扱い，右向きを正とする。また，回転運動は時計回りを正とする。

円板の中心における並進運動の速度を $v$，中心を通る軸のまわりの回転運動の角速度を $\omega$，時刻を $t$ とするとき，並進運動，および回転運動の運動方程式をそれぞれ示せ。ただし，円板の中心まわりの慣性モーメントを $I$，円板に働く摩擦力を $f$（斜面に平行かつ右向きを正），重力加速度を $g$ とする（図1-1）。

(2) 問(1)において，円板が斜面上を滑らずに転がり上る運動を考える。このとき，円板には静止摩擦が働いており，摩擦によるエネルギーの損失は生じないものとする。この束縛条件より，並進運動の速度 $v$ を求めよ。また，$v>0$ を満たすためのトルク $T$ の条件を $M,g,\phi$ および $R$ を用いて示せ。ただし，$I=MR^2/2$ とする。

(3) 問(2)において，運動開始前を基準とし，円板の中心の高さが $h_0$ に達した時点でトルク $T$ を停止した。このときの円板と斜面との接触点を点 A とする。トルク停止後，円板は中心の高さが $h_0+h_1$ に達するまで斜面を上ったのち，下降を始めた（図1-2）。トルク停止直後の円板の中心における並進運動の速度を $v_0$ とするとき，$h_1$ を求め，$v_0$ および $g$ を用いて示せ。

(4) 問(3)において，点 A より高い領域において斜面がなめらかであり，円板と斜面との間に摩擦が生じない場合を考える。トルク停止後に円板は斜面を上り，中心の高さが $h_0+h_2$ まで達したのち，下降を始めた（図1-3）。このとき，$h_2$ を求め，$v_0$ および $g$ を用いて示せ。また，$h_1$ と $h_2$ の大小関係を示せ。

题目描述

问题[1]、[2]须分别在不同的答题纸上作答。

[1] 关于竖直二维平面内刚体的运动，回答下列问题。

(1) 有一半径 $R$、质量 $M$ 的均匀圆盘。将它静置于有摩擦、倾角为 $\phi$ 的斜面上，随后持续在其中心施加恒定扭矩 $T$，考虑由此产生的运动。以下各问只讨论平行于斜面的平动分量，以向右为正；转动以顺时针为正。

设圆盘中心的平动速度为 $v$，绕过中心轴的转动角速度为 $\omega$，时间为 $t$，分别写出平动和转动的运动方程。圆盘绕中心的转动惯量为 $I$，摩擦力为 $f$（沿斜面向右为正），重力加速度为 $g$，如图1-1。

(2) 在第(1)问中，考虑圆盘沿斜面无滑动向上滚动。圆盘受到静摩擦作用，摩擦不产生能量损失。利用这一约束求平动速度 $v$，并用 $M,g,\phi,R$ 表示满足 $v>0$ 的扭矩 $T$ 的条件。设 $I=MR^2/2$。

(3) 在第(2)问中，以运动开始前为高度基准，当圆盘中心上升到 $h_0$ 时停止施加扭矩 $T$，此时圆盘与斜面的接触点记为 A。停止扭矩后，圆盘继续上升，直至中心高度达到 $h_0+h_1$ 后开始下降，如图1-2。设停止扭矩后瞬间圆盘中心的平动速度为 $v_0$，求 $h_1$，并用 $v_0,g$ 表示。

(4) 在第(3)问中，考虑高于 A 点的斜面光滑、圆盘与斜面之间无摩擦的情况。停止扭矩后，圆盘继续沿斜面上升，中心高度达到 $h_0+h_2$ 后开始下降，如图1-3。求 $h_2$，用 $v_0,g$ 表示，并比较 $h_1$ 与 $h_2$ 的大小。

Kai

(1)

重力の斜面方向成分は $-Mg\sin\phi$、摩擦による中心回りトルクは時計回り規約で $-fR$。従って

$$\boxed{M\dot v=f-Mg\sin\phi,\qquad I\dot\omega=T-fR}.$$

(2)

滑りなしの拘束 $v=R\omega$ を用いて $f$ を消去すると

$$\left(M+\frac I{R^2}\right)\dot v=\frac TR-Mg\sin\phi.$$

$I=MR^2/2$ と $v(0)=0$ より

$$\boxed{v(t)=\frac{2(T-MgR\sin\phi)}{3MR}t},\qquad \boxed{T>MgR\sin\phi\quad(t>0)}.$$

滑らないための摩擦力が確保されることは設問の仮定である。

(3)

静止摩擦は仕事をしない。最高点で $v=\omega=0$ となるため

$$Mgh_1=\frac12Mv_0^2+\frac12\frac{MR^2}{2}\left(\frac{v_0}R\right)^2=\frac34Mv_0^2.$$

従って $\boxed{h_1=3v_0^2/(4g)}$。

(4)

摩擦がなくトルクも停止しているため、$\omega=v_0/R$ は一定で、回転運動エネルギーは変わらない。並進分だけが位置エネルギーに変わり

$$Mgh_2=\frac12Mv_0^2,\qquad\boxed{h_2=\frac{v_0^2}{2g}}.$$

従って $\boxed{h_1=\tfrac32h_2>h_2}$。摩擦なしの場合、最高点でも円板は回転している。

Reference

• 神戸大学公式問題の保存版：平成31年度 機械力学、PDF 1ページ