神戸大学 工学研究科 機械工学専攻 2019年度 生産工学・制御工学 問題2

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• 神户大学
• 传递函数
• 波德图与稳定裕度
• 稳态误差
• 劳斯–赫尔维茨稳定判据

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

フィードバック制御系について答えよ。

(1) 慣性モーメント $I\,[\mathrm{kg\,m^2}]$ の回転体が、両端の粘性摩擦係数がそれぞれ $D/2$ の軸受で支えられている。$\theta\,[\mathrm{rad}]$ を回転角、$\tau\,[\mathrm{N\,m}]$ を同方向に加えるトルク、$D\,[\mathrm{N\,m\,s}]$ を両軸受の影響を合わせた係数とする。運動方程式と、$\tau$ から $\theta$ への伝達関数 $G(s)$ を求めよ。

(2) 周波数応答を測定すると次のBode線図を得た。破線はゲインの折れ線近似である。この図から

$$G(s)=\frac{10}{s(10s+1)}$$

と推定した過程を述べ、$I,D$ を求めよ。

(3) (2)の $G(s)$ を対象に、$e=\theta_d-\theta$、$\tau=Ke$（$K>0$）とする単位負帰還系1を構成する。閉ループ伝達関数 $H(s)=\Theta(s)/\Theta_d(s)$ を求めよ。さらに $K=10$、目標値 $\theta_d(t)=\sin(\sqrt{10}\,t)$ に対する出力の定常応答を求めよ。

(4) 系1の $\theta_d$ から偏差 $e$ への伝達関数と、$K$ の関数としての定常速度偏差を求めよ。

(5) 系1の帰還経路に一次遅れフィルタ $1/(Ts+1)$ を挿入し、$e=\theta_d-\theta_f$、$\Theta_f(s)=\Theta(s)/(Ts+1)$ とした系2を考える。$T=0.1\,\mathrm{s}$ のとき、系2が安定となる $K$ の範囲を求めよ。

题目描述

(1) 回转体的转动惯量为 $I$，两端轴承的黏性摩擦系数各为 $D/2$，总系数为 $D$。设转角为 $\theta$、同正方向的外加转矩为 $\tau$，写运动方程并求 $\tau\to\theta$ 的传递函数。

(2) 从所示Bode图推定 $G(s)=10/[s(10s+1)]$，解释推定过程并求 $I,D$。

(3) 令误差 $e=\theta_d-\theta$、驱动转矩 $\tau=Ke$，其中 $K>0$。求闭环传递函数；当 $K=10$、输入为 $\sin(\sqrt{10}\,t)$ 时求稳态输出。

(4) 求输入到误差的传递函数，以及单位斜坡输入的稳态误差。

(5) 在反馈支路加入滤波器 $1/(Ts+1)$，即反馈量为 $\Theta_f=\Theta/(Ts+1)$。当 $T=0.1\,\mathrm{s}$ 时，求系统稳定的 $K$ 范围。

Kai

(1)

両軸受の抵抗トルクの和は $-D\dot\theta$。従って、

$$\boxed{I\ddot\theta+D\dot\theta=\tau,\qquad G(s)=\frac1{s(Is+D)}}.$$

伝達関数では初期値を零とする。

(2)

低周波のゲイン傾斜 $-20\,\mathrm{dB/dec}$ と位相 $-90^\circ$ は積分要素を示す。$\omega=0.1\,\mathrm{rad/s}$ で傾斜が $-40\,\mathrm{dB/dec}$ に変わり位相が $-135^\circ$ になるので、時定数10 sの一次遅れ要素を持つ。低周波で $|G(i\omega)|\simeq10/\omega$ であることから指定の $G(s)$ を得る。

$$G(s)=\frac{1/D}{s\{(I/D)s+1\}},\qquad \boxed{D=0.1\,\mathrm{N\,m\,s},\quad I=1\,\mathrm{kg\,m^2}}.$$

(3)

$$\boxed{H(s)=\frac{KG(s)}{1+KG(s)}=\frac{10K}{10s^2+s+10K}}.$$

$K>0$ で特性多項式の係数は正であり二次系は安定である。$K=10$ のとき、

$$H(i\sqrt{10})=\frac{100}{i\sqrt{10}}=-10\sqrt{10}\,i.$$

よって定常応答は、

$$\boxed{\theta_{\rm ss}(t)=10\sqrt{10}\sin\left(\sqrt{10}\,t-\frac\pi2\right) =-10\sqrt{10}\cos(\sqrt{10}\,t)}.$$

(4)

$$\boxed{\frac{E(s)}{\Theta_d(s)}=\frac1{1+KG(s)}=\frac{s(10s+1)}{10s^2+s+10K}}.$$

単位ランプ入力 $\Theta_d=1/s^2$ に対し、安定性と最終値の定理から、

$$\boxed{e_v=\lim_{s\to0}\frac{10s+1}{10s^2+s+10K}=\frac1{10K}}.$$

(5)

特性方程式は $1+KG(s)/(Ts+1)=0$ である。$T=0.1$ とすると、

$$s^3+10.1s^2+s+10K=0.$$

Routh表の第一列は $1,10.1,(10.1-10K)/10.1,10K$。すべて正となる条件は、

$$\boxed{0<K<1.01}.$$

Reference

• 神戸大学 2019年度原問題（公式公開ファイルの保存版）