神戸大学 工学研究科 電気電子工学専攻 2021年8月実施 数学 1.

标签：

• Kobe-University
• Multivariable-Differentiation
• Implicit-Differentiation
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization

Author

Miyake

Description

次の各問いに答えよ。

(1) 関数 $f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3+4$ を考える。

• (1-a) 偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x,y)$ を求めよ。
• (1-b) $f(x,y)=0$ によって $y$ を $x$ の陰関数として定めるとき、$\frac{dy}{dx}=0$ を満たす点 $(x,y)$ を求めよ。

(2) $a$ を実定数とし、行列 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 2 & 1 & a^2 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ を考える。

• (2-a) 行列 $A$ の固有値を求めよ。
• (2-b) 行列 $A$ が対角化可能となる $a$ の値を全て求めよ。

题目描述

回答下列问题。

1. 考虑函数

   $$f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3+4.$$

   （a）求偏导数 $f_x(x,y)$ 与 $f_y(x,y)$。

   （b）方程 $f(x,y)=0$ 隐式确定 $y$ 为 $x$ 的函数。求满足

   $$\frac{dy}{dx}=0$$

   的点 $(x,y)$。

2. 设 $a$ 为实常数，考虑矩阵

   $$A= \begin{pmatrix} 1&2&a\\ 2&1&a^2\\ 0&0&3 \end{pmatrix}.$$

   （a）求 $A$ 的特征值。

   （b）求使 $A$ 可对角化的全部 $a$。

Kai

(1)

(1-a)

$$\begin{aligned} f_x(x,y) &= 3x^2 - 3y^2 \\ f_y(x,y) &= -6xy + 6y^2 \end{aligned}$$

(1-b)

$f(x,y)=0$ の両辺を $x$ で微分して整理すると、

$$\begin{aligned} (x-y) \left\{ (x+y) - 2y \frac{dy}{dx} \right\} = 0 \end{aligned}$$

となるが、 $f(x,x) = 4 \neq 0$ なので $x \neq y$ と考えてよく、

$$\begin{aligned} (x+y) - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \end{aligned}$$

を得るので、 $dy/dx=0$ が成り立つためには $x+y=0$ が必要であることがわかる。

さらに、

$$\begin{aligned} f(x, -x) &= -4x^3 + 4 \\ &= -4(x-1)(x^2+x+1) \end{aligned}$$

であるので、まとめると、 $f(x,y)=0, dy/dx=0$ が成り立つのは $(x,y)=(1,-1)$ のときであることがわかる。

(2)

(2-a)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 & a \\ 2 & 1 - \lambda & a^2 \\ 0 & 0 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \\ &= - (\lambda+1)(\lambda-3)^2 \\ \therefore \ \ \lambda &= -1, 3 \end{aligned}$$

がわかる。

(2-b)

$A$ が対角化可能であるのは、 固有値 $3$ に属する1次独立な固有ベクトルが2つ存在する場合である。 固有値 $3$ に属する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} -2 & 2 & a \\ 2 & -2 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、2つの条件式

$$\begin{aligned} -2x+2y+az &= 0, \\ 2x-2y+a^2z &= 0 \end{aligned}$$

を得るが、両辺足して整理すると、

$$\begin{aligned} a(a+1)z = 0 \end{aligned}$$

となる。 そこで (i) $a=0$ (ii) $a=-1$ (iii) $a \neq 0, -1$ の3通りに場合分けして考える。

(i) $a=0$ のとき、 3つの未知数 $x,y,z$ に対して条件式は1つ $x=y$ しかないので、 固有値 $3$ に属する2つの1次独立な固有ベクトルが存在する。 例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(ii) $a=-1$ のとき、 3つの未知数 $x,y,z$ に対して条件式は1つ $2x-2y+z=0$ しかないので、 固有値 $3$ に属する2つの1次独立な固有ベクトルが存在する。 例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

(iii) $a \neq 0, -1$ のとき、 3つの未知数 $x,y,z$ に対して条件式は2つ $x=y,z=0$ あるので、 固有値 $3$ に属する2つの1次独立な固有ベクトルは存在しない。 固有ベクトルは、例えば、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。

以上より、 $A$ が対角化可能となる $a$ の値は $a=0,-1$ である。