神戸大学経済学研究科 2021年8月実施第I期統計学第2問

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確率変数 $X$ の密度関数を $f(x; \theta)$ とし、パラメータ $\theta$ は $0$ か $1$ のいずれかの値しかをとらないものとする。また、 $f(x; 0)$ と $f(x; 1)$ はそれぞれ、以下のように与えられるものとする。

f(x; 0) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}

f(x; 1) = \begin{cases} ax & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{その他} \end{cases}

(1) $a$ の値を求めなさい。(15点)

(2) $\theta = 0$ のとき、 $X$ の期待値と分散を求めなさい。(20点)

(3) $\theta = 0$ のとき、 $X$ の積率母関数を求めなさい。(15点)

(4) $f(x; \theta)$ からの無作為標本を $X_1, X_2, \ldots, X_n$ とする。 $\theta$ の最尤推定量を求めなさい。(20点)

確率密度関数の規格化の条件

\begin{aligned} 1 &= \int_{- \infty}^\infty f(x;1) dx = a \int_0^1 x \ dx = \frac{a}{2} \end{aligned}

から $a = 2$ がわかる。

$\theta=0$ のとき、 $X$ の期待値 $E(X)$ 、 $X^2$ の期待値 $E(X^2)$ 、 $X$ の分散 $V(X)$ は、それぞれ次のように計算できる：

\begin{aligned} E \left( X \right) &= \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2} \\ E \left( X^2 \right) &= \int_0^1 x^2 \ dx = \frac{1}{3} \\ V \left( X \right) &= E \left( X^2 \right) - E \left( X \right)^2 = \frac{1}{12} \end{aligned}

求める積率母関数は、次のように計算できる：

\begin{aligned} M(t) &= \int_0^1 e^{tx} \ dx \\ &= \frac{1}{t} \left[ e^{tx} \right]_0^1 \\ &= \frac{e^t - 1}{t} \end{aligned}

尤度

\begin{aligned} l(\theta) = f(x_1;\theta) f(x_2;\theta) \cdots f(x_n;\theta) \end{aligned}

は、今の場合、

\begin{aligned} l(0) &= 1 \\ l(1) &= 2^n x_1 x_2 \cdots x_n \end{aligned}

となるので、 $\theta$ の最尤推定量は次のように求まる：

\begin{aligned} \hat{\theta} = \begin{cases} 0 &, X_1 X_2 \cdots X_n \lt 1/2^n \\ 1 &, X_1 X_2 \cdots X_n \gt 1/2^n \end{cases} \end{aligned}