神戸大学 経済学研究科 2021年8月実施 第I期 統計学 第1問

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• Geometric-Distribution
• Conditional-Probability
• Binomial-Distribution

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えなさい。

(1) 最初に 6 の目が出るまでサイコロを投げるとする。平均で何回投げる必要があるか求めなさい。(15点)

(2) 事象 $A$ と $B$ が $P(A) = \frac{1}{2}$ と $P(B^C) = \frac{1}{4}$ を満たすとする。$A$ と $B$ は排反になりうるかどうか説明しなさい。(15点)

(3) $X_1, X_2, \ldots, X_n$ は独立同一の分布に従う確率変数で、その累積分布関数を $F_X(x)$ とする。ある定数 $c$ について、確率変数 $Y_1, \ldots, Y_n$ を

$$Y_i = \begin{cases} 1 & X_i > c \text{ のとき} \\ 0 & X_i \leq c \text{ のとき} \end{cases}$$

によって定義する。 $\sum_{i=1}^n Y_i$ の確率関数を求めなさい。(20点)

题目描述

回答下列问题。

1. 连续掷一枚公平骰子，直到第一次出现 6。求平均需要投掷多少次。（15 分）

2. 事件 $A,B$ 满足

   $$P(A)=\frac12,\qquad P(B^C)=\frac14.$$

   说明 $A$ 与 $B$ 是否可能互斥。（15 分）

3. 随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布，公共累积分布函数为 $F_X(x)$。对常数 $c$ 定义

   $$Y_i= \begin{cases} 1&(X_i>c),\\ 0&(X_i\leq c). \end{cases}$$

   求 $\sum_{i=1}^nY_i$ 的概率质量函数。（20 分）

考点

• 几何分布：把首次出现指定点数的等待次数视为成功概率 $1/6$ 的几何随机变量。
• 概率加法界与互斥事件：由补事件求 $P(B)$，再用互斥事件概率和不得超过 1 判断可行性。
• Bernoulli 指示变量与二项分布：由 $F_X(c)$ 求单次成功概率，并利用独立性得到计数分布。

Kai

(1)

$k \ (=1, 2, \cdots)$ 回目に初めて 6 の目が出る確率は

$$\begin{aligned} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \end{aligned}$$

であるから、求める平均は

$$\begin{aligned} \frac{1}{6} \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} &= \frac{1}{6} \frac{1}{(1 - 5/6)^2} \\ &= 6 \end{aligned}$$

である。

(2)

$A$, $B$ は排反になりえない。 なぜなら、排反のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つが、 今の場合 $P(A)+P(B)=1/2+3/4=5/4 \gt 1$ となるからである。

(3)

$Y_i =0,1$ となる確率はそれぞれ

$$\begin{aligned} P \left( Y_i = 0 \right) &= F_X(c) \\ P \left( Y_i = 1 \right) &= 1 - F_X(c) \end{aligned}$$

であるから、 $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ として、求める確率関数は

$$\begin{aligned} P \left( \sum_{i=1}^n Y_i = k \right) &= {}_n C_k \ F_X(c)^{n-k} \left( 1 - F_X(c) \right)^k \end{aligned}$$

である。