神戸大学経済学研究科 2021年8月実施第I期統計学第1問

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以下の問いに答えなさい。

(1) 最初に 6 の目が出るまでサイコロを投げるとする。平均で何回投げる必要があるか求めなさい。(15点)

(2) 事象 $A$ と $B$ が $P(A) = \frac{1}{2}$ と $P(B^C) = \frac{1}{4}$ を満たすとする。 $A$ と $B$ は排反になりうるかどうか説明しなさい。(15点)

(3) $X_1, X_2, \ldots, X_n$ は独立同一の分布に従う確率変数で、その累積分布関数を $F_X(x)$ とする。ある定数 $c$ について、確率変数 $Y_1, \ldots, Y_n$ を

Y_i = \begin{cases} 1 & X_i > c \text{ のとき} \\ 0 & X_i \leq c \text{ のとき} \end{cases}

によって定義する。 $\sum_{i=1}^n Y_i$ の確率関数を求めなさい。(20点)

$k \ (=1, 2, \cdots)$ 回目に初めて 6 の目が出る確率は

\begin{aligned} \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} \cdot \frac{1}{6} \end{aligned}

であるから、求める平均は

\begin{aligned} \frac{1}{6} \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{5}{6} \right)^{k-1} &= \frac{1}{6} \frac{1}{(1 - 5/6)^2} \\ &= 6 \end{aligned}

である。

$A$ , $B$ は排反になりえない。なぜなら、排反のとき $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つが、今の場合 $P(A)+P(B)=1/2+3/4=5/4 \gt 1$ となるからである。

$Y_i =0,1$ となる確率はそれぞれ

\begin{aligned} P \left( Y_i = 0 \right) &= F_X(c) \\ P \left( Y_i = 1 \right) &= 1 - F_X(c) \end{aligned}

であるから、 $k = 0, 1, 2, \cdots, n$ として、求める確率関数は

\begin{aligned} P \left( \sum_{i=1}^n Y_i = k \right) &= {}_n C_k \ F_X(c)^{n-k} \left( 1 - F_X(c) \right)^k \end{aligned}

である。