慶應義塾大学 経営管理研究科 2023年10月実施 問題1

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• Keio-University
• Expectation-and-Variance
• Unit-Fraction-Decomposition
• Production-Planning

Author

祭音Myyura

Description

次の各問に答えなさい。答えのみを解答欄に書きなさい。 分数の場合は約分して分数のまま答えなさい。

(1) 下は、$A \sim D$ の $4$ 名の $3$ 回の試験の点数と平均点の表である。

	A	B	C	D
第1回	68	84	46	ア
第2回	52	59	71	66
第3回	78	73	78	79
平均点	66	イ	65	73

• (a) この表のア、イはそれぞれ何点か答えなさい。
• (b) 次に第 $4$ 回のテストを受けたら、$4$ 名の試験の平均点がすべて $70$ 点となりました。第 $4$ 回のテストの $4$ 名の合計点は何点か答えなさい。

(2) 分子が $1$ である分数が2つあり、その和が $\frac{8}{15}$ であるとする。このような分数の組を2組答えなさい。

(3) 2つのかたよりのないサイコロを同時に投げる試行を考える。

• (a) 二つの目の和を $X$ とする。$X$ の期待値を求めなさい。
• (b) 大きい方の目を $Y$ とする。$Y$ の期待値を求めなさい。

(4) ある工場では2つの製品 $A、B$ を作ることになった。それぞれの製品1つ作るのに、製品 $A$ は、原料アが $8$ キログラム、原料イが $3$ キログラム必要で、製品 $B$ は、原料アが $5$ キログラム、原料イが $4$ キログラム必要とする。 なお、原料アは合計で $86$ キログラム、原料イは合計で $45$ キログラムまでしか使えない。製品1つあたりの利益は、$A$ が $4$ 万円、$B$ が $3$ 万円であるとする。

• (a) 製品 $A、B$ の生産個数をそれぞれ $x, y$ とする。原料に関する制約条件を式で書きなさい。
• (b) 利益が最大になる $x, y$ の組み合わせを答えなさい。
• (c) その時の利益を答えなさい。

题目描述

回答下列各题，只需在答题栏填写答案；若答案为分数，须约分后仍以分数形式作答。

1. 下表给出 $A\sim D$ 四人在三次考试中的成绩与个人平均分：

   	A	B	C	D
   第 1 次	68	84	46	ア
   第 2 次	52	59	71	66
   第 3 次	78	73	78	79
   平均分	66	イ	65	73

   1. 分别求表中“ア”和“イ”所表示的分数。
   2. 若四人又参加第 4 次考试，之后四人的四次考试平均分均为 $70$ 分，求四人在第 4 次考试中的总分。

2. 有两个分子均为 $1$ 的分数，其和为 $\frac{8}{15}$。写出两组符合条件的分数组合。

3. 同时掷两枚均匀骰子：

   1. 令两枚骰子的点数之和为 $X$，求 $X$ 的期望。
   2. 令两枚骰子中较大的点数为 $Y$，求 $Y$ 的期望。

4. 某工厂生产产品 $A$、$B$。每件 $A$ 需要原料甲 $8$ 千克、原料乙 $3$ 千克；每件 $B$ 需要原料甲 $5$ 千克、原料乙 $4$ 千克。原料甲最多可用 $86$ 千克，原料乙最多可用 $45$ 千克。每件 $A$、$B$ 的利润分别为 $4$ 万日元和 $3$ 万日元。

   1. 设 $A$、$B$ 的生产数量分别为 $x,y$，写出原料方面的约束条件。
   2. 求利润最大时的生产组合 $(x,y)$。
   3. 求此时的利润。

考点

• 平均数与线性关系：由三次成绩的平均数补齐表格，并利用四次考试总分与平均分之间的关系求新增成绩总和。
• 单位分数分解：寻找分子为 $1$ 且和为指定有理数的两项分数组合。
• 离散随机变量的期望：基于两枚公平骰子的联合样本空间，分别计算点数和与最大点数的期望。
• 生产计划的线性规划：把两种原料上限写成线性约束，并在可行域内最大化产品利润。

Kai

(1)

(a)

$$\begin{aligned} \frac{ア+66+79}{3} &= 73\\ ア &= 74 \end{aligned}$$

$$イ = \frac{84+59+73}{3} = 72$$

(b)

$$\begin{aligned} &70 \times 4 \times 4 - (66+72+65+73) \times 3 \\ &= 70 \times 4 \times 4 - 69 \times 4 \times 3 \\ &= 292 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{30} \right) , \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{5} \right) \end{aligned}$$

(3)

(a)

$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6} \times 2 = 7$$

(b)

$$\frac{ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot 11 }{36} = \frac{161}{36}$$

(4)

(a)

$$\begin{aligned} 8x+5y \leq 86 \\ 3x+4y \leq 45 \\ \end{aligned}$$

(b)

$x$	$y$	$8x+5y$	$3x+4y$	obj: $4x+3y$
10	1	85	34	43
9	2	82	35	42
8	4	84	40	44
7	6	86	45	46
6	6	78	42	42
5	7	75	43	41
4	8	72	44	40
3	9	69	45	39
2	9	61	45	39
1	10	58	43	34
0	11	55	44	33

よって、利益が最大になるのは $x=7,y=6$ のときである。

(c)

(b) の表より、最大の利益は $46$ 万円である。