金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 専門科目 電子回路

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金沢大学

Description

図1に示すオペアンプを用いた回路を考える。なお，オペアンプの特性は理想的であるとする。以下の設問に答えなさい。

問1

図1(a)に示す回路について考える。以下の小問に答えなさい。

(1) 抵抗 $R_1$ に流れる電流を $i_1$ とするとき，入力インピーダンス $v_{\mathrm{in}}/i_1$ を求めなさい。

(2) 抵抗 $R_3$ に流れる電流の大きさは，抵抗 $R_1$ に流れる電流の大きさ $|i_1|$ の何倍になるか求めなさい。

(3) 電圧利得 $v_{\mathrm{out}}/v_{\mathrm{in}}$ を求めなさい。

問2

図1(b)に示す回路について考える。以下の小問に答えなさい。

(1) 入力電圧 $v_1$ が角周波数 $\omega$ の正弦波であるとき，定常状態における伝達関数 $v_0(\omega)/v_1(\omega)$ を求めなさい。

(2) 時間 $t$ の関数として入力電圧を $v_1(t)$，抵抗 $R$ に流れる電流を $i(t)$ とする。このとき，$v_1(t)$ と $i(t)$ の関係を表す積分方程式を示しなさい。

(3) 入力電圧 $v_1(t)$ に単位ステップ関数 $u(t)$ で表される電圧を入力した。

$$v_1(t)=u(t)= \begin{cases} 0 & (t<0) \\ 1 & (t\ge 0) \end{cases}$$

このときの $t>0$ の出力電圧 $v_0(t)$ を $R,\,R_f,\,C,\,t$ を用いて表しなさい。ただし，時刻 $t=0$ において，キャパシタ $C$ の初期電荷は 0 とする。

题目描述

考虑图 1 所示使用理想运算放大器的电路。

1. 对图 1(a) 电路回答：

   （1）设流过电阻 $R_1$ 的电流为 $i_1$，求输入阻抗 $v_{\mathrm{in}}/i_1$。

   （2）流过电阻 $R_3$ 的电流大小是 $|i_1|$ 的多少倍？

   （3）求电压增益 $v_{\mathrm{out}}/v_{\mathrm{in}}$。

2. 对图 1(b) 电路回答：

   （1）若输入电压 $v_1$ 为角频率 $\omega$ 的正弦波，求稳态传递函数

   $$\frac{v_0(\omega)}{v_1(\omega)}.$$

   （2）令输入电压和流过电阻 $R$ 的电流分别为时间函数 $v_1(t),i(t)$，写出两者关系的积分方程。

   （3）输入单位阶跃

   $$v_1(t)=u(t)= \begin{cases} 0&(t<0),\\ 1&(t\geq0). \end{cases}$$

   在 $t=0$ 时电容 $C$ 的初始电荷为 0。用 $R,R_f,C,t$ 表示 $t>0$ 时的输出电压 $v_0(t)$。

考点

• 理想运算放大器约束：使用虚短、虚断和节点电流方程求输入阻抗、电流比例及闭环增益。
• 含电容反馈网络的传递函数：在频域以复阻抗表示 RC 支路并推导正弦稳态响应。
• 时域积分方程：由电容电压—电流关系与 Kirchhoff 定律建立输入和电流的积分关系。
• 阶跃暂态响应：结合零初始电荷求一阶电路输出的指数暂态和稳态值。

Kai

問1

(1)

$v_{\mathrm{in}} = R_1i_1$ より

$$R_1 = \frac{v_{\mathrm{in}}}{i_1}$$

(2)

抵抗 $R_3$ に流れる電流を $i_3$ とすると、

$$-R_2 (i_1 - i_3) = R_2i_1$$

$$i_3 = 2i_1$$

よって、２倍。

(3)

抵抗 $R_3$ に流れる電流を $i_3$ とすると、

$$R_2 (i_1 - i_3) = R_3i_3 + v_{\mathrm{out}}$$

$$v_{\mathrm{out}} = -R_2i_1 - 2R_3i_1$$

よって、

$$\frac{v_{\mathrm{out}}}{v_{\mathrm{in}}} = -\frac{R_2+2R_3}{R_1}$$

問2

(1)

抵抗 $R$ に流れる電流を $i(\omega)$ とすると、

$$v_1(\omega) = (R + \frac{1}{j\omega C})i(\omega)$$

$$v_0(\omega) = -R_fi(\omega)$$

よって、

$$\frac{v_0(\omega)}{v_1(\omega)} = -\frac{j\omega C R_f}{1 + j\omega C R}$$

(2)

$$v_1(t) = Ri(t) + \frac{1}{C} \int i(t)\ dt$$

(3)

前問 (2) より

$$v_1(t) = Ri(t) + \frac{1}{C} \int_0^t i(\tau)\ d\tau$$

$v_1(t) = u(t)$ であり、ラプラス変換を行う。但し、$i(t)$ のラプラス変換を $I(s)$ とるす。

$$\frac{1}{s} = RI(s) + \frac{1}{C} \frac{I(s)}{s}$$

$$I(s) = \frac{1}{R} \frac{1}{s + \frac{1}{CR}}$$

逆ラプラス変換より

$$i(t) = \frac{1}{R} \exp (\frac{-t}{CR})$$

よって、$v_0(t)=-R_fi(t)$ より

$$v_0(t) = -\frac{R_f}{R} \exp (\frac{-t}{CR})$$