金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 専門科目 電気磁気学

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金沢大学

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真空中における電磁気現象に関する設問に答えなさい。真空の誘電率，透磁率をそれぞれ $\varepsilon_0,\,\mu_0$ とする。

問1

図1のように，$xy$ 平面上に線電荷密度 $\lambda(>0)$ が原点を中心として半径 $a$ の円環上に一様に分布している。以下の問に答えなさい。

(1) $z$ 軸上 $P$ 点 $(0,0,z)$ での電位を求めなさい。電位の基準は無限遠とする。

(2) $z$ 軸上の電界は $z=z_0(>0)$ で最大値をとる。$z_0$ を求めなさい。

(3) この円状電荷を $z$ 軸を中心軸に角速度 $\omega$ で回転させた。このとき得られる電流の大きさを求めなさい。

問2

図2のように，$z$ 軸を共通軸とする 2 つの円形回路 $(\#1,\#2)$ が $xy$ 平面上におかれている。$\#1$ と $\#2$ の回路半径はそれぞれ $a$ および $b(\ll a)$ であり，$\#1$ には矢印方向に定常電流 $I$ が流れている。また $\#2$ には微小ギャップがあり，このギャップの間隔は無視できるほど小さいとする。以下の問に答えなさい。

(1) 原点 $(0,0)$ における磁界の大きさを求めなさい。

(2) $\#1$ と $\#2$ が同一平面上にあるときの相互インダクタンスを求めなさい。ただし，$\#2$ 内の磁界の面内分布は一様とする。

(3) $\#2$ のみ $+z$ 方向に速さ $v(>0)$ で等速運動させると，$\#2$ のギャップに起電力が生じた。そして，この起電力は $z=z_0(>0)$ で最大値をとる。$z_0$ を求めなさい。ただし，$\#2$ 内の磁界の面内分布は一様とする。

図

Kai

問1

(1)

$z$ 軸まわりの角度を $\theta$ としたとき，$\theta \sim \theta+d\theta$ の部分の微小電荷 $\lambda a\,d\theta$ による点 $P$ での電位分は

$$dV=\frac{\lambda a\,d\theta}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}$$

である。これを周回積分することで，円状電荷からの電位は

$$V(z)=\int_0^{2\pi} dV =\frac{\lambda a}{2\varepsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}$$

となる。

(2)

電界は電位の勾配ベクトルであるため，

$$\boldsymbol{E} =-\mathrm{grad}\,V =\boldsymbol{e}_z\left(-\frac{\partial V}{\partial z}\right) =\boldsymbol{e}_z \frac{\lambda az}{2\varepsilon_0(a^2+z^2)^{3/2}}$$

となる。

この電界の大きさが最大となる $z_0$ は

$$\frac{d}{dz} \left\{ \frac{z}{(a^2+z^2)^{3/2}} \right\}=0$$

より，

$$\frac{a^2-2z^2}{(a^2+z^2)^{5/2}}=0$$

したがって，

$$z_0=\frac{a}{\sqrt{2}}$$

となる。

(3)

円環上の全電荷は

$$q=2\pi a\lambda$$

である。また，単位時間あたりの回転数は

$$\frac{\omega}{2\pi}$$

である。

電流の定義は単位時間あたりに通過する電荷量なので，

$$I=2\pi a\lambda\cdot \frac{\omega}{2\pi} =\omega a\lambda$$

となる。

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問2

(1)

ビオ・サバールの法則より，

$$dH=\frac{I\,ds\sin\theta}{4\pi r^2}$$

である。本問では $r=a,\ \theta=90^\circ$ なので，

$$dH=\frac{I\,ds}{4\pi a^2}$$

となる。したがって，原点における磁界の大きさは

$$H=\int_0^{2\pi a}\frac{I\,ds}{4\pi a^2} =\frac{I}{2a}$$

である。

(2)

$\#2$ のループ回路内の磁界の面内分布は一様とするため，鎖交磁束は

$$\Phi=\mu_0 H\pi b^2$$

である。

問2(1)より $H=I/(2a)$ だから，

$$\Phi =\mu_0\frac{I}{2a}\pi b^2 =\frac{\mu_0 I\pi b^2}{2a}$$

となる。したがって，相互インダクタンス $M$ は

$$M=\frac{\Phi}{I} =\frac{\mu_0\pi b^2}{2a}$$

である。

(3)

$z$ の位置での磁界の大きさを考える。このとき

$$r=\sqrt{a^2+z^2}$$

であり，$xy$ 平面成分は周回積分により打ち消されるので，磁界の $z$ 方向成分のみを考えればよい。

したがって，

$$H =\oint dH\sin\alpha =\int_0^{2\pi a} \frac{I\,ds}{4\pi(a^2+z^2)} \frac{a}{\sqrt{a^2+z^2}}$$

より，

$$H(z)=\frac{Ia^2}{2(a^2+z^2)^{3/2}}$$

となる。

$\#2$ のループ回路は $z=vt$ で等速運動しているので，鎖交磁束は

$$\Phi =\mu_0 H\pi b^2 =\frac{\mu_0 I\pi a^2b^2}{2(a^2+v^2t^2)^{3/2}}$$

である。

ファラデーの法則より，抵抗間の起電力の大きさは

$$e=-\frac{\partial \Phi}{\partial t} =\frac{3\mu_0 I\pi a^2b^2}{2} \frac{v^2t}{(a^2+v^2t^2)^{5/2}}$$

である。$z=vt$ とおくと，

$$e =\frac{3\mu_0 I\pi a^2b^2v}{2} \frac{z}{(a^2+z^2)^{5/2}}$$

となる。

この起電力が最大となるのは

$$\frac{d}{dz} \left\{ \frac{z}{(a^2+z^2)^{5/2}} \right\}=0$$

のときである。計算すると，

$$\frac{a^2-4z^2}{(a^2+z^2)^{7/2}}=0$$

したがって，

$$z_0=\frac{a}{2}$$

となる。