跳到主要内容

金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 専門科目 電気回路

标签：

Author​

金沢大学

Description​

図1および図2に示す定常状態にある回路がある。以下の設問に答えなさい。ただし，図中の ω,R,C,L,E˙,I˙,V˙C,V˙R\omega, R, C, L, \dot{E}, \dot{I}, \dot{V}_C, \dot{V}_R はすべて物理量を表す。

問1 図1に示す抵抗 RR，キャパシタ CC，交流電圧源 E˙\dot{E} で構成される回路がある。図1の端子対 1–1′1–1' から右の回路の複素インピーダンスを求めなさい。

問2 問1で求めた複素インピーダンスについて，ωω を 0∼∞0 \sim \infty で変化させた場合の複素インピーダンスの軌跡を複素平面上に図示しなさい。

問3 抵抗 RR を 500Ω500 Ω，キャパシタ CC を 20 nF20\ nF，交流電圧源 E˙\dot{E} を 1∠0° kV1∠0°\ kV，1/2π=0.1591/2π = 0.159，周波数 f=15.9kHzf = 15.9 kHz とするとき，電流 I˙\dot{I}，電圧 V˙C\dot{V}_C および V˙R\dot{V}_R について複素数の直交座標形式および複素数のフェーザ形式の両者を求めなさい。

問4 電圧 V˙C\dot{V}_C，V˙R\dot{V}_R および交流電源 E˙\dot{E} の関係をフェーザ図で図示しなさい。

ここで，図1に示す回路の端子対 2–2′2–2' にインダクタ LL を接続した。接続した回路が図2である。

問5 図2に示す抵抗 RR，キャパシタ CC，インダクタ LL，交流電圧源 E˙\dot{E} で構成される回路がある。図2の端子対 3–3′3–3' から右の回路の複素インピーダンスを ω,R,C,Lω, R, C, L を用いて複素数の直交座標形式で表しなさい。

問6 与えられた ω,R,Lω, R, L に対し，E˙\dot{E} と I˙\dot{I} の位相が同じになる場合があるような CC の取りうる範囲を求めなさい。また，このとき，RR の条件を ω,C,Lω, C, L を用いて表しなさい。

题目描述​

图 1、图 2 所示电路均处于正弦稳态。图中的 ω,R,C,L,E˙,I˙,V˙C,V˙R\omega,R,C,L,\dot E,\dot I,\dot V_C,\dot V_R 均表示物理量。

  1. 图 1 电路由电阻 RR、电容 CC 和交流电压源 E˙\dot E 构成。求从端子对 11–1′1' 向右看入的复阻抗。

  2. 对第 1 问所得复阻抗，当 ω\omega 从 00 变化到 ∞\infty 时，在复平面上画出其轨迹。

  3. 取

    R=500 Ω,C=20 nF,E˙=1∠0∘ kV,R=500\,\Omega,\qquad C=20\,\mathrm{nF},\qquad \dot E=1\angle0^\circ\,\mathrm{kV},
    12π=0.159,f=15.9 kHz.\frac1{2\pi}=0.159,\qquad f=15.9\,\mathrm{kHz}.

    求电流 I˙\dot I、电容电压 V˙C\dot V_C 和电阻电压 V˙R\dot V_R，每个量都同时用复数直角坐标形式和相量极坐标形式表示。

  4. 画出 V˙C,V˙R\dot V_C,\dot V_R 与交流电源 E˙\dot E 之间关系的相量图。

随后在图 1 的端子对 22–2′2' 接入电感 LL，形成图 2 电路。

  1. 对图 2 中由 R,C,L,E˙R,C,L,\dot E 构成的电路，用 ω,R,C,L\omega,R,C,L 将从端子对 33–3′3' 向右看入的复阻抗写成直角坐标形式。
  2. 对给定的 ω,R,L\omega,R,L，求能使 E˙\dot E 与 I˙\dot I 同相的电容 CC 的可能范围；同时用 ω,C,L\omega,C,L 表示此时 RR 必须满足的条件。

考点​

  • 相量与复阻抗：组合电阻、电容和电感的串并联阻抗，使用直角与极坐标形式互换。
  • 阻抗轨迹：消去频率参数，在复平面上识别 RC 网络阻抗的圆弧/极限点。
  • 正弦稳态电压电流计算：由总阻抗求电流及元件电压，并绘制满足 Kirchhoff 定律的相量图。
  • RLC 谐振与同相条件：令输入阻抗虚部为零，分析电容取值范围及电阻约束。

Kai​

問1​

Z=R−j1ωCZ = R - j\frac{1}{\omega C}

または

Z=R+1jωCZ = R + \frac{1}{j\omega C}

となる。

問2​

ω=0\omega=0 のとき R−j1ωC→R−j∞R-j\frac{1}{\omega C}\to R-j\infty, ω=∞\omega=\infty のとき R−j1ωC→RR-j\frac{1}{\omega C}\to R, したがって下図となる。

問3​

I˙=E˙R−j1ωC=E˙R−j12πfC=1000500−j500=1+j\dot{I} =\frac{\dot{E}}{R-j\frac{1}{\omega C}} =\frac{\dot{E}}{R-j\frac{1}{2\pi f C}} =\frac{1000}{500-j500} =1+j
  • 直交座標形式：I˙=1+j A\dot{I}=1+j\ \mathrm{A}
  • フェーザ形式：I˙=2∠45∘ A\dot{I}=\sqrt{2}\angle 45^\circ\ \mathrm{A}
V˙C=−j1ωCI˙=−j500(1+j)=500−j500\dot{V}_C =-j\frac{1}{\omega C}\dot{I} =-j500(1+j) =500-j500
  • 直交座標形式：V˙C=500−j500 V\dot{V}_C=500-j500\ \mathrm{V}
  • フェーザ形式：V˙C=5002∠(−45∘) V\dot{V}_C=500\sqrt{2}\angle(-45^\circ)\ \mathrm{V}
V˙R=RI˙=500(1+j)=500+j500\dot{V}_R=R\dot{I}=500(1+j)=500+j500
  • 直交座標形式：V˙R=500+j500 V\dot{V}_R=500+j500\ \mathrm{V}
  • フェーザ形式：V˙R=5002∠45∘ V\dot{V}_R=500\sqrt{2}\angle 45^\circ\ \mathrm{V}

問4​

下図のとおり

問5​

Z=jωLRR+jωL−j1ωC=jωLR(R−jωL)R2+ω2L2−j1ωC=ω2L2RR2+ω2L2+j(ωLR2R2+ω2L2−1ωC)\begin{aligned} Z&=\frac{j\omega LR}{R+j\omega L}-j\frac{1}{\omega C} \\ &=\frac{j\omega LR(R-j\omega L)}{R^2+\omega^2L^2}-j\frac{1}{\omega C} \\ &=\frac{\omega^2L^2R}{R^2+\omega^2L^2} +j\left(\frac{\omega LR^2}{R^2+\omega^2L^2}-\frac{1}{\omega C}\right) \end{aligned}

問6​

E˙=ZI˙\dot{E}=Z\dot{I} より，E˙\dot{E} と I˙\dot{I} の位相が一致するためには ZZ が実数（虚部=0）が必要。
問5の虚部を 00 とおく：

ωLR2R2+ω2L2−1ωC=0\frac{\omega LR^2}{R^2+\omega^2L^2}-\frac{1}{\omega C}=0
ω2LCR2=R2+ω2L2\omega^2LCR^2=R^2+\omega^2L^2
(ω2LC−1)R2=ω2L2(\omega^2LC-1)R^2=\omega^2L^2

ここで R2>0R^2>0 および ω2L2>0\omega^2L^2>0 より，成立には

ω2LC−1>0⇒C>1ω2L\omega^2LC-1>0\quad\Rightarrow\quad C>\frac{1}{\omega^2L}

また，R>0R>0 より

R=ωLω2LC−1R=\frac{\omega L}{\sqrt{\omega^2LC-1}}
本页目录