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金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 専門科目 電気回路

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金沢大学

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図1および図2に示す定常状態にある回路がある。以下の設問に答えなさい。ただし，図中の ω,R,C,L,E˙,I˙,V˙C,V˙R\omega, R, C, L, \dot{E}, \dot{I}, \dot{V}_C, \dot{V}_R はすべて物理量を表す。

問1 図1に示す抵抗 RR，キャパシタ CC，交流電圧源 E˙\dot{E} で構成される回路がある。図1の端子対 1–1′1–1' から右の回路の複素インピーダンスを求めなさい。

問2 問1で求めた複素インピーダンスについて，ωω を 0∼∞0 \sim \infty で変化させた場合の複素インピーダンスの軌跡を複素平面上に図示しなさい。

問3 抵抗 RR を 500Ω500 Ω，キャパシタ CC を 20 nF20\ nF，交流電圧源 E˙\dot{E} を 1∠0° kV1∠0°\ kV，1/2π=0.1591/2π = 0.159，周波数 f=15.9kHzf = 15.9 kHz とするとき，電流 I˙\dot{I}，電圧 V˙C\dot{V}_C および V˙R\dot{V}_R について複素数の直交座標形式および複素数のフェーザ形式の両者を求めなさい。

問4 電圧 V˙C\dot{V}_C，V˙R\dot{V}_R および交流電源 E˙\dot{E} の関係をフェーザ図で図示しなさい。

ここで，図1に示す回路の端子対 2–2′2–2' にインダクタ LL を接続した。接続した回路が図2である。

問5 図2に示す抵抗 RR，キャパシタ CC，インダクタ LL，交流電圧源 E˙\dot{E} で構成される回路がある。図2の端子対 3–3′3–3' から右の回路の複素インピーダンスを ω,R,C,Lω, R, C, L を用いて複素数の直交座標形式で表しなさい。

問6 与えられた ω,R,Lω, R, L に対し，E˙\dot{E} と I˙\dot{I} の位相が同じになる場合があるような CC の取りうる範囲を求めなさい。また，このとき，RR の条件を ω,C,Lω, C, L を用いて表しなさい。

Kai​

問1​

Z=R−j1ωCZ = R - j\frac{1}{\omega C}

または

Z=R+1jωCZ = R + \frac{1}{j\omega C}

となる。

問2​

ω=0\omega=0 のとき R−j1ωC→R−j∞R-j\frac{1}{\omega C}\to R-j\infty, ω=∞\omega=\infty のとき R−j1ωC→RR-j\frac{1}{\omega C}\to R, したがって下図となる。

問3​

I˙=E˙R−j1ωC=E˙R−j12πfC=1000500−j500=1+j\dot{I} =\frac{\dot{E}}{R-j\frac{1}{\omega C}} =\frac{\dot{E}}{R-j\frac{1}{2\pi f C}} =\frac{1000}{500-j500} =1+j
  • 直交座標形式：I˙=1+j A\dot{I}=1+j\ \mathrm{A}
  • フェーザ形式：I˙=2∠45∘ A\dot{I}=\sqrt{2}\angle 45^\circ\ \mathrm{A}
V˙C=−j1ωCI˙=−j500(1+j)=500−j500\dot{V}_C =-j\frac{1}{\omega C}\dot{I} =-j500(1+j) =500-j500
  • 直交座標形式：V˙C=500−j500 V\dot{V}_C=500-j500\ \mathrm{V}
  • フェーザ形式：V˙C=5002∠(−45∘) V\dot{V}_C=500\sqrt{2}\angle(-45^\circ)\ \mathrm{V}
V˙R=RI˙=500(1+j)=500+j500\dot{V}_R=R\dot{I}=500(1+j)=500+j500
  • 直交座標形式：V˙R=500+j500 V\dot{V}_R=500+j500\ \mathrm{V}
  • フェーザ形式：V˙R=5002∠45∘ V\dot{V}_R=500\sqrt{2}\angle 45^\circ\ \mathrm{V}

問4​

下図のとおり

問5​

Z=jωLRR+jωL−j1ωC=jωLR(R−jωL)R2+ω2L2−j1ωC=ω2L2RR2+ω2L2+j(ωLR2R2+ω2L2−1ωC)\begin{aligned} Z&=\frac{j\omega LR}{R+j\omega L}-j\frac{1}{\omega C} \\ &=\frac{j\omega LR(R-j\omega L)}{R^2+\omega^2L^2}-j\frac{1}{\omega C} \\ &=\frac{\omega^2L^2R}{R^2+\omega^2L^2} +j\left(\frac{\omega LR^2}{R^2+\omega^2L^2}-\frac{1}{\omega C}\right) \end{aligned}

問6​

E˙=ZI˙\dot{E}=Z\dot{I} より，E˙\dot{E} と I˙\dot{I} の位相が一致するためには ZZ が実数（虚部=0）が必要。
問5の虚部を 00 とおく：

ωLR2R2+ω2L2−1ωC=0\frac{\omega LR^2}{R^2+\omega^2L^2}-\frac{1}{\omega C}=0
ω2LCR2=R2+ω2L2\omega^2LCR^2=R^2+\omega^2L^2
(ω2LC−1)R2=ω2L2(\omega^2LC-1)R^2=\omega^2L^2

ここで R2>0R^2>0 および ω2L2>0\omega^2L^2>0 より，成立には

ω2LC−1>0⇒C>1ω2L\omega^2LC-1>0\quad\Rightarrow\quad C>\frac{1}{\omega^2L}

また，R>0R>0 より

R=ωLω2LC−1R=\frac{\omega L}{\sqrt{\omega^2LC-1}}
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