金沢大学自然科学研究科電子情報通信学専攻 2022年8月実施数学 IV

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$f(x)=\pi-2x\ (0\le x\le \pi),\ g(x)=x(\pi-x)\ (0\le x\le \pi)$ とする。

問1　 $f(x)$ に対するフーリエ正弦級数と $g(x)$ に対するフーリエ余弦級数をそれぞれ求めよ。

問2　微分方程式

y''-4y=g(x)\quad (0<x<\pi)

の解 $y(x)$ をフーリエ余弦級数の形で求めよ。

定义

f(x)=\pi-2x,\qquad0\leq x\leq\pi,

g(x)=x(\pi-x),\qquad0\leq x\leq\pi.

（奇関数拡張・偶関数拡張）

f(x)=\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{m}\sin(2mx)\qquad(0<x<\pi)

$x=0,\pi$ では正弦級数の和は $0$ である。

g(x)=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^2}\cos(2mx)

y(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)

とし、項別微分と未定係数法より

y(x)=-\frac{\pi^2}{24}+\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{4m^2(m^2+1)}\cos(2mx)

これは $y'(0)=y'(\pi)=0$ を満たす解である。問題文には境界条件がないので解の一意性は主張できず、微分方程式の一般解は上式に $C_1e^{2x}+C_2e^{-2x}$ を加えたものとなる。