金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 IV

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金沢大学

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$f(x)=\pi-2x\ (0\le x\le \pi),\ g(x)=x(\pi-x)\ (0\le x\le \pi)$ とする。

問1　$f(x)$ に対するフーリエ正弦級数と $g(x)$ に対するフーリエ余弦級数をそれぞれ求めよ。

問2　微分方程式

$$y''-4y=g(x)\quad (0<x<\pi)$$

の解 $y(x)$ をフーリエ余弦級数の形で求めよ。

题目描述

定义

$$f(x)=\pi-2x,\qquad0\leq x\leq\pi,$$

$$g(x)=x(\pi-x),\qquad0\leq x\leq\pi.$$

1. 分别求 $f(x)$ 的 Fourier 正弦级数和 $g(x)$ 的 Fourier 余弦级数。

2. 将微分方程

   $$y''-4y=g(x),\qquad0<x<\pi$$

   的解 $y(x)$ 表示为 Fourier 余弦级数。

考点

• Fourier 正弦与余弦展开：按半区间展开公式计算系数，并利用奇偶延拓理解级数形式。
• 分部积分求 Fourier 系数：处理一次和二次多项式的三角积分。
• Fourier 级数法求微分方程：逐项求导，把线性微分算子作用转化为各模态系数的代数方程。

Kai

問1

（奇関数拡張・偶関数拡張）

$$f(x)=\sum_{m=1}^\infty \frac{2}{m}\sin(2mx)$$

$$g(x)=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m^2}\cos(2mx)$$

問2

$$y(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)$$

とし、項別微分と未定係数法より

$$y(x)=-\frac{\pi^2}{24}+\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{4m^2(m^2+1)}\cos(2mx)$$