金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 III

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金沢大学

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$a,b$ を定数として，複素関数

$$f(z)=\frac{az^2+bz+1}{z^2(z-1)^2}\sin\left(\frac{\pi}{2}z\right)$$

を考える。次の問いに答えよ。

問1　$a,b$ の値に応じて，複素平面上にある関数 $f(z)$ の特異点をすべて求めよ。

問2　関数 $f(z)$ の各々の極における留数を計算せよ。

問3　複素積分

$$\int_{|z|=R} f(z),dz$$

の値が $0$ であるような $a,b$ の値の組を 1 つ求めよ。ただし積分路 $\{|z|=R\}\ (R>2)$ は複素平面の原点を中心とし半径が $R$ の正に向き付けられた円である。

Kai

問1

• $z=0$ は $f(z)$ の $1$ 位の極。
• $a+b+1\ne 0$ なら $z=1$ は $2$ 位の極。
• $a+b+1=0,\ b\ne -2$ なら $z=1$ は $1$ 位の極。

問2

$$\operatorname{Res}(f,0)=\frac{\pi}{2},\qquad \operatorname{Res}(f,1)=-(b+2)$$

問3

留数定理から

$$\left|\int_{|z|=R} f(z)\ dz\right|=2\pi\left|\frac{\pi}{2}-(b+2)\right|$$

より、例えば

$$(a,b)=\left(0,\frac{\pi}{2}-2\right)$$