金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 III

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• Residue-Theorem
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金沢大学

Description

$a,b$ を定数として，複素関数

$$f(z)=\frac{az^2+bz+1}{z^2(z-1)^2}\sin\left(\frac{\pi}{2}z\right)$$

を考える。次の問いに答えよ。

問1　$a,b$ の値に応じて，複素平面上にある関数 $f(z)$ の特異点をすべて求めよ。

問2　関数 $f(z)$ の各々の極における留数を計算せよ。

問3　複素積分

$$\int_{|z|=R} f(z),dz$$

の値が $0$ であるような $a,b$ の値の組を 1 つ求めよ。ただし積分路 $\{|z|=R\}\ (R>2)$ は複素平面の原点を中心とし半径が $R$ の正に向き付けられた円である。

题目描述

设 $a,b$ 为常数，考虑复函数

$$f(z)= \frac{az^2+bz+1}{z^2(z-1)^2} \sin\left(\frac\pi2z\right).$$

回答下列问题。

1. 根据 $a,b$ 的取值，求 $f(z)$ 在复平面上的全部奇点，并分类说明可能发生的消去。

2. 计算 $f(z)$ 在每一个极点处的留数。

3. 给出一组 $a,b$，使

   $$\int_{|z|=R}f(z)\,dz=0.$$

   其中积分路径为以原点为圆心、半径 $R>2$ 的正向圆周。

考点

• 奇点与极点分类：结合分母零点、正弦函数零点和分子参数判断可去奇点及极点阶数。
• 留数计算：使用 Laurent 展开或高阶极点公式求留数。
• 留数定理：对包含全部有限奇点的圆周积分求留数和，并反求使积分为零的参数。

Kai

問1

• $z=0$ は $f(z)$ の $1$ 位の極。
• $a+b+1\ne 0$ なら $z=1$ は $2$ 位の極。
• $a+b+1=0,\ b\ne -2$ なら $z=1$ は $1$ 位の極。

問2

$$\operatorname{Res}(f,0)=\frac{\pi}{2},\qquad \operatorname{Res}(f,1)=-(b+2)$$

問3

留数定理から

$$\left|\int_{|z|=R} f(z)\ dz\right|=2\pi\left|\frac{\pi}{2}-(b+2)\right|$$

より、例えば

$$(a,b)=\left(0,\frac{\pi}{2}-2\right)$$