金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 II

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金沢大学

Description

$\mathbb{R}^3$ 上のベクトル場 $A=(3xy^2,xy,y+z)$ 閉領域 $D$ を

$$D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+1\le z\le 5\}$$

とする。次の問いに答えよ。

問1　ベクトル場 $A$ の発散 $\nabla\cdot A$ と回転 $\nabla\times A$ を求めよ。

問2　向き付けられた $D$ の境界面を $\partial D$ とする。 $\partial D$ 上の面積分 $\iint_{\partial D} A\cdot n \ dS$ を求めよ。ただし $n$ は $D$ の外向きの単位法線ベクトルとする。

問3　曲面 $S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+1=z\}$、平面 $T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\}$ とする。曲線 $C$ を $S$ と $T$ の共通集合 $S\cap T$ に含まれ，始点 $P(0,0,1)$，終点 $Q(1,-1,3)$ を持つ曲線とする。このとき，曲線 $C$ に沿った線積分 $\int_C A\cdot\ dr$ を求めよ。ただし $r=r(t)$ を $C$ の適当なパラメータ表示とする。

题目描述

在 $\mathbb R^3$ 上给定向量场

$$A=(3xy^2,xy,y+z)$$

和闭区域

$$D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+1\leq z\leq5\}.$$

回答下列问题。

1. 求向量场 $A$ 的散度 $\nabla\cdot A$ 和旋度 $\nabla\times A$。

2. 设 $\partial D$ 是取外向定向的区域边界，$n$ 为外向单位法向量。计算通量积分

   $$\iint_{\partial D}A\cdot n\,dS.$$

3. 定义曲面和平面

   $$S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+1=z\},$$
   $$T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=0\}.$$

   令曲线 $C\subseteq S\cap T$ 从 $P(0,0,1)$ 指向 $Q(1,-1,3)$。取 $C$ 的适当参数表示 $r=r(t)$，计算线积分

   $$\int_CA\cdot dr.$$

考点

• 散度与旋度：按分量计算向量场的一阶微分算子。
• Gauss 散度定理：把封闭曲面的通量转化为抛物面与平面之间区域上的三重积分。
• 空间曲线参数化与线积分：联立曲面方程参数化交线，并沿指定方向计算第二类线积分。

Kai

問1

$$\nabla\cdot A=3y^2+x+1,\qquad \nabla\times A=(1,0,y-6xy)$$

問2

円柱座標 $(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)$ により

$$\nabla\cdot A=3r^2\sin^2\theta+r\cos\theta+1$$

ガウスの発散定理より

$$\iint_{\partial D}A\cdot n,dS=\iiint_D(\nabla\cdot A),dV=24\pi$$

問3

曲線のパラメータ表示を $r(t)=(t,-t,2t^2+1)\ (0\le t\le 1)$ とすると、$C$ 上での

$$A(t)=(3t^3,-t^2,2t^2-t+1),\quad r'(t)=(1,-1,4t)$$

よって

$$\int_C A\cdot dr=\int_0^1 A(t)\cdot r'(t),dt=\frac{15}{4}$$