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金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 II

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Author​

金沢大学, 祭音Myyura

Description​

R3\mathbb{R}^3 上のベクトル場 A=(3xy2,xy,y+z)A=(3xy^2,xy,y+z) 閉領域 DD を

D={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+1≤z≤5}D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+1\le z\le 5\}

とする。次の問いに答えよ。

問1　ベクトル場 AA の発散 ∇⋅A\nabla\cdot A と回転 ∇×A\nabla\times A を求めよ。

問2　向き付けられた DD の境界面を ∂D\partial D とする。 ∂D\partial D 上の面積分 ∬∂DA⋅n dS\iint_{\partial D} A\cdot n \ dS を求めよ。ただし nn は DD の外向きの単位法線ベクトルとする。

問3　曲面 S={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+1=z}S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+1=z\}、平面 T={(x,y,z)∈R3∣x+y=0}T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y=0\} とする。曲線 CC を SS と TT の共通集合 S∩TS\cap T に含まれ，始点 P(0,0,1)P(0,0,1)，終点 Q(1,−1,3)Q(1,-1,3) を持つ曲線とする。このとき，曲線 CC に沿った線積分 ∫CA⋅ dr\int_C A\cdot\ dr を求めよ。ただし r=r(t)r=r(t) を CC の適当なパラメータ表示とする。

题目描述​

在 R3\mathbb R^3 上给定向量场

A=(3xy2,xy,y+z)A=(3xy^2,xy,y+z)

和闭区域

D={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+1≤z≤5}.D=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+1\leq z\leq5\}.

回答下列问题。

  1. 求向量场 AA 的散度 ∇⋅A\nabla\cdot A 和旋度 ∇×A\nabla\times A。

  2. 设 ∂D\partial D 是取外向定向的区域边界，nn 为外向单位法向量。计算通量积分

    ∬∂DA⋅n dS.\iint_{\partial D}A\cdot n\,dS.

  3. 定义曲面和平面

    S={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+1=z},S=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2+y^2+1=z\},
    T={(x,y,z)∈R3∣x+y=0}.T=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y=0\}.

    令曲线 C⊆S∩TC\subseteq S\cap T 从 P(0,0,1)P(0,0,1) 指向 Q(1,−1,3)Q(1,-1,3)。取 CC 的适当参数表示 r=r(t)r=r(t)，计算线积分

    ∫CA⋅dr.\int_CA\cdot dr.

Kai​

問1​

∇⋅A=3y2+x+1,∇×A=(1,0,y−6xy)\nabla\cdot A=3y^2+x+1,\qquad \nabla\times A=(1,0,y-6xy)

問2​

円柱座標 (x,y,z)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z) により

∇⋅A=3r2sin⁡2θ+rcos⁡θ+1\nabla\cdot A=3r^2\sin^2\theta+r\cos\theta+1

ガウスの発散定理より

∬∂DA⋅n dS=∭D(∇⋅A) dV=24π\iint_{\partial D}A\cdot n\,dS=\iiint_D(\nabla\cdot A)\,dV=24\pi

問3​

曲線のパラメータ表示を r(t)=(t,−t,2t2+1) (0≤t≤1)r(t)=(t,-t,2t^2+1)\ (0\le t\le 1) とすると、CC 上での

A(t)=(3t3,−t2,2t2−t+1),r′(t)=(1,−1,4t)A(t)=(3t^3,-t^2,2t^2-t+1),\quad r'(t)=(1,-1,4t)

よって

∫CA⋅dr=∫01A(t)⋅r′(t) dt=154\int_C A\cdot dr=\int_0^1 A(t)\cdot r'(t)\,dt=\frac{15}{4}
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