金沢大学 自然科学研究科 電子情報通信学専攻 2022年8月実施 数学 I

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金沢大学

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次の微分方程式の一般解を求めよ。（ヒント：(4) は $x^\alpha y^\beta$ の形の積分因子をもつ。）

(1)

$$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}-2y=0$$

(2)

$$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}-2y=2x-1$$

(3)

$$\frac{dy}{dx}-2y=y^2$$

(4)

$$(3xy+2y^3)dx+(2x^2+4xy^2)dy=0$$

Kai

(1)

特性方程式より

$$p^2-p-2=(p+1)(p-2) \Rightarrow y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}$$

(2)

未定係数法で特殊解 $\eta=Ax+B$ とおくと $\eta=-x+1$。(1) で求めた余関数と合わせて

$$y=C_1e^{-x}+C_2e^{2x}-x+1$$

(3)

$u=1/y$ とおくと $u'+2u=-1$。

$$u=\frac{C-e^{2x}}{2e^{2x}} \Rightarrow y=\frac{2e^{2x}}{C-e^{2x}}$$

(4)

$xy$ が積分因子になることから完全微分形

$$(3x^2y^2+2xy^4)dx+(2x^3y+4x^2y^3)dy=0$$

一般解

$$x^3y^2+x^2y^4=C$$