東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [3]

标签：

• 东京科学大学
• 极坐标
• 二维拉普拉斯算子的基本解
• 散度定理

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

[A]

(1) $\boldsymbol r=(x,y)$、$\boldsymbol\nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y)$ とするとき、$\ln|\boldsymbol r|$ の勾配

$$\boldsymbol\nabla\ln|\boldsymbol r|$$

を求めよ。ただし、$\ln$ は自然対数関数である。

(2) ラプラシアン $\Delta=\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol\nabla$ を2次元極座標 $(r,\theta)$ を用いて表せ。

(3) $|\boldsymbol r|\ne0$ において、$\Delta\ln|\boldsymbol r|$ を求めよ。

(4) 積分範囲を $|\boldsymbol r|\le a$（$a$ は正の定数）として、面積分

$$I=\iint\Delta\ln|\boldsymbol r|\,dx\,dy$$

を求めよ。ただし、$xy$ 平面内の閉曲線 $C$ に囲まれた領域 $S$ 上で定義された関数 $P(x,y),Q(x,y)$ の積分について成り立つ2次元のグリーンの定理

$$\oint_C(P\,dx+Q\,dy)=\iint_S\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy$$

を用いてよい。

(5) 前問 (3)、(4) の結果から、$|\boldsymbol r|=0$ を含む任意の $\boldsymbol r$ に対して成り立つ $\Delta\ln|\boldsymbol r|$ の表示式を求めよ。ただし、解答欄には答のみを記入すること。

[B]

(6) 積分

$$J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ipx}}{p^2-k^2-i\delta}\,dp$$

を求めよ。ただし、$x$ は実数、$k$ は正の実数、$\delta$ は正の無限小とする。

题目描述

[A]

(1) 设 $\boldsymbol r=(x,y)$、$\boldsymbol\nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y)$，求 $\ln|\boldsymbol r|$ 的梯度 $\boldsymbol\nabla\ln|\boldsymbol r|$，其中 $\ln$ 是自然对数函数。

(2) 用二维极坐标 $(r,\theta)$ 表示拉普拉斯算子 $\Delta=\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol\nabla$。

(3) 当 $|\boldsymbol r|\ne0$ 时，求 $\Delta\ln|\boldsymbol r|$。

(4) 在积分区域 $|\boldsymbol r|\le a$（$a>0$ 为常数）上计算面积分

$$I=\iint\Delta\ln|\boldsymbol r|\,dx\,dy.$$

可以使用二维格林定理：对于定义在 $xy$ 平面闭曲线 $C$ 所围区域 $S$ 上的函数 $P(x,y),Q(x,y)$，有

$$\oint_C(P\,dx+Q\,dy)=\iint_S\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dx\,dy.$$

(5) 根据 (3)、(4)，求对包括 $|\boldsymbol r|=0$ 在内的任意 $\boldsymbol r$ 都成立的 $\Delta\ln|\boldsymbol r|$ 表达式。答题栏只填写答案。

[B]

(6) 计算积分

$$J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ipx}}{p^2-k^2-i\delta}\,dp,$$

其中 $x$ 为实数，$k>0$ 为实数，$\delta$ 为正无穷小。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \ln | \vec{r} | &= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} \ln \left( x^2+y^2 \right) = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{x}{r^2} \\ \frac{\partial}{\partial y} \ln | \vec{r} | &= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left( x^2+y^2 \right) = \frac{y}{x^2+y^2} = \frac{y}{r^2} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \vec{\nabla} \ln | \vec{r} | = \left( \frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2} \right) = \frac{\vec{r}}{r^2} \end{aligned}$$

(2)

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, r = \sqrt{x^2+y^2}, \tan \theta = y/x$ より、

$$\begin{aligned} \frac{\partial r}{\partial x} &= \frac{x}{r} = \cos \theta \\ \frac{\partial r}{\partial y} &= \frac{y}{r} = \sin \theta \\ \frac{\partial \theta}{\partial x} &= - \frac{y}{x^2} \cos^2 \theta = - \frac{\sin \theta}{r} \\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{1}{x} \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{r} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\ \frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{gathered} \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left( \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \\ = \cos^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} \\ {}+ \frac{\sin^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial r} \\ \qquad + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ = \cos^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} +2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} -2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} \\ {}+ \frac{\sin^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \\ = \sin^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} \\ {}+ \frac{\cos^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial r} \\ \qquad - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ = \sin^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} -2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} +2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} \\ {}+ \frac{\cos^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{gathered}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \Delta &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \\ &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{aligned}$$

を得る。

(3)

$| \vec{r} | \neq 0$ のとき、(2) で得た式をつかって、

$$\begin{aligned} \Delta \ln | \vec{r} | = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} \ln r = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{1}{r} = 0 \end{aligned}$$

を得る。

(4)

領域 $| \vec{r} | \leq a$ を $S$ , 閉曲線 $| \vec{r} | = a$ を $C$ で表して、 $\ln r$ は原点で特異なので、$u_\varepsilon=\frac12\ln(r^2+\varepsilon^2)$ と正則化してから $\varepsilon\to0$ とする。Green の公式より、分布の意味で

$$\begin{aligned} I &:=\lim_{\varepsilon\to0} \iint_S \Delta u_\varepsilon\,dx\,dy \\ &=\lim_{\varepsilon\to0} \oint_C \left(-\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial y}\,dx +\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x}\,dy\right) \\ &= \oint_C \left( - \frac{y}{r^2} dx + \frac{x}{r^2} dy \right) \\ &= \int_0^{2 \pi} \left( - \frac{a \sin \theta}{a^2} \cdot (-a \sin \theta) + \frac{a \cos \theta}{a^2} \cdot (a \cos \theta) \right) d \theta \\ &= \int_0^{2 \pi} d \theta \\ &= 2 \pi \end{aligned}$$

(5)

$u_\varepsilon$ について

$$\Delta u_\varepsilon =\frac{2\varepsilon^2}{(r^2+\varepsilon^2)^2}$$

である。この非負関数の全平面上の積分は $2\pi$ で、$\varepsilon\to0$ で原点に集中する。したがって任意の試験関数 $\varphi$ に対して

$$\lim_{\varepsilon\to0} \iint_{\mathbb R^2}\Delta u_\varepsilon\,\varphi\,dx\,dy =2\pi\varphi(0).$$

よって分布の意味で

$$\begin{aligned} \Delta \ln | \vec{r} | = 2 \pi \delta^2 ( \vec{r} ) \end{aligned}$$

がわかる。 ただし、 $\delta^2 ( \cdot )$ は、 2次元のディラックのデルタ関数である。

(6)

$\kappa=\sqrt{k^2+i\delta}$ を実部・虚部がともに正となる枝で取ると、極は $p=\kappa$（上半平面）と $p=-\kappa$（下半平面）である。

$x>0$ なら上半平面で閉じ、留数定理から $J_\delta=\pi i e^{i\kappa x}/\kappa$ を得る。$x<0$ なら下半平面で時計回りに閉じ、$J_\delta=\pi i e^{-i\kappa x}/\kappa$ となる。$x=0$ でも半円弧の積分は $O(1/R)$ で消えるため同じ式が使える。

よって $\delta\to0^+$ とすると

$$\boxed{J=\frac{\pi i}{k}e^{ik|x|}}.$$

Reference

• 公式問題PDF、6ページ