東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [3]

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約

公式問題PDF、6ページ

[A] $\vec r=(x,y)$、$r=\sqrt{x^2+y^2}$、$\nabla=(\partial_x,\partial_y)$ とする。

1. $\nabla\ln r$ を求める。
2. $\Delta=\nabla\cdot\nabla$ を極座標 $(r,\theta)$ で表す。
3. $r\ne0$ で $\Delta\ln r$ を求める。
4. $a>0$ に対し $I=\iint_{r\le a}\Delta\ln r\,dx\,dy$ を求める。正向きの境界 $C$ を持つ領域 $S$ に対する Green の公式 $\oint_C(P\,dx+Q\,dy)=\iint_S(\partial_xQ-\partial_yP)\,dx\,dy$ を使ってよい。
5. 原点も含む $\Delta\ln r$ の分布としての表示を求める。

[B] 6. 実数 $x$、$k>0$ に対し、$\delta\to0^+$ の意味で $J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ipx}}{p^2-k^2-i\delta}\,dp$ を計算する。

题目描述

在二维平面令

$$\vec r=(x,y),\qquad r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

1. 对 $r\neq0$，计算

   $$\vec\nabla\ln|\vec r|,$$

   并证明它等于 $\vec r/r^2$。

2. 使用极坐标

   $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$

   推导二维 Laplace 算子

   $$\Delta =\frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}$$

   的极坐标形式。

3. 对 $r\neq0$，证明

   $$\Delta\ln|\vec r|=0.$$

4. 令

   $$S=\{\vec r:|\vec r|\leq a\}, \qquad C=\{\vec r:|\vec r|=a\},$$

   其中 $C$ 取正向。使用二维散度定理/Green 公式计算

   $$I=\iint_S\Delta\ln|\vec r|\,\mathrm dx\,\mathrm dy.$$

5. 结合第 3、4 问，在分布意义下证明二维 Laplace 算子的基本解恒等式

   $$\Delta\ln|\vec r| =2\pi\delta^2(\vec r),$$

   其中 $\delta^2$ 为二维 Dirac delta 函数。

6. 对实数 $x$ 和 $k>0$，在 $\delta\to0^+$ 的意义下计算

   $$J=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ipx}}{p^2-k^2-i\delta}\,dp.$$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} \ln | \vec{r} | &= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x} \ln \left( x^2+y^2 \right) = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{x}{r^2} \\ \frac{\partial}{\partial y} \ln | \vec{r} | &= \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial y} \ln \left( x^2+y^2 \right) = \frac{y}{x^2+y^2} = \frac{y}{r^2} \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \vec{\nabla} \ln | \vec{r} | = \left( \frac{x}{r^2}, \frac{y}{r^2} \right) = \frac{\vec{r}}{r^2} \end{aligned}$$

(2)

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, r = \sqrt{x^2+y^2}, \tan \theta = y/x$ より、

$$\begin{aligned} \frac{\partial r}{\partial x} &= \frac{x}{r} = \cos \theta \\ \frac{\partial r}{\partial y} &= \frac{y}{r} = \sin \theta \\ \frac{\partial \theta}{\partial x} &= - \frac{y}{x^2} \cos^2 \theta = - \frac{\sin \theta}{r} \\ \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{1}{x} \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{r} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta} = \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\ \frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta} = \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \left( \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( \cos \theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \\ &= \cos^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial r} \\ &\ \ \ \ + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &= \cos^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} +2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} -2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ \frac{\partial^2}{\partial y^2} &= \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \\ &= \sin^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial \theta \partial r} \\ &\ \ \ \ - \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &= \sin^2 \theta \frac{\partial^2}{\partial r^2} -2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r^2} \frac{\partial}{\partial \theta} +2 \frac{\sin \theta \cos \theta}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos^2 \theta}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{aligned}$$

したがって、

$$\begin{aligned} \Delta &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \\ &= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \\ &= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \end{aligned}$$

を得る。

(3)

$| \vec{r} | \neq 0$ のとき、(2) で得た式をつかって、

$$\begin{aligned} \Delta \ln | \vec{r} | = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial}{\partial r} \ln r = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{1}{r} = 0 \end{aligned}$$

を得る。

(4)

領域 $| \vec{r} | \leq a$ を $S$ , 閉曲線 $| \vec{r} | = a$ を $C$ で表して、 $\ln r$ は原点で特異なので、$u_\varepsilon=\frac12\ln(r^2+\varepsilon^2)$ と正則化してから $\varepsilon\to0$ とする。Green の公式より、分布の意味で

$$\begin{aligned} I &:=\lim_{\varepsilon\to0} \iint_S \Delta u_\varepsilon\,dx\,dy \\ &=\lim_{\varepsilon\to0} \oint_C \left(-\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial y}\,dx +\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial x}\,dy\right) \\ &= \oint_C \left( - \frac{y}{r^2} dx + \frac{x}{r^2} dy \right) \\ &= \int_0^{2 \pi} \left( - \frac{a \sin \theta}{a^2} \cdot (-a \sin \theta) + \frac{a \cos \theta}{a^2} \cdot (a \cos \theta) \right) d \theta \\ &= \int_0^{2 \pi} d \theta \\ &= 2 \pi \end{aligned}$$

(5)

$u_\varepsilon$ について

$$\Delta u_\varepsilon =\frac{2\varepsilon^2}{(r^2+\varepsilon^2)^2}$$

である。この非負関数の全平面上の積分は $2\pi$ で、$\varepsilon\to0$ で原点に集中する。したがって任意の試験関数 $\varphi$ に対して

$$\lim_{\varepsilon\to0} \iint_{\mathbb R^2}\Delta u_\varepsilon\,\varphi\,dx\,dy =2\pi\varphi(0).$$

よって分布の意味で

$$\begin{aligned} \Delta \ln | \vec{r} | = 2 \pi \delta^2 ( \vec{r} ) \end{aligned}$$

がわかる。 ただし、 $\delta^2 ( \cdot )$ は、 2次元のディラックのデルタ関数である。

(6)

$\kappa=\sqrt{k^2+i\delta}$ を実部・虚部がともに正となる枝で取ると、極は $p=\kappa$（上半平面）と $p=-\kappa$（下半平面）である。

$x>0$ なら上半平面で閉じ、留数定理から $J_\delta=\pi i e^{i\kappa x}/\kappa$ を得る。$x<0$ なら下半平面で時計回りに閉じ、$J_\delta=\pi i e^{-i\kappa x}/\kappa$ となる。$x=0$ でも半円弧の積分は $O(1/R)$ で消えるため同じ式が使える。

よって $\delta\to0^+$ とすると

$\boxed{J=\frac{\pi i}{k}e^{ik|x|}}.$