東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [2]

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Miyake

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題意の要約

公式問題PDF、4–5ページ

半径 $a$ の導体円環を $xy$ 面に固定する。長さ $a$、線密度 $\lambda$ の導体棒は中心 $O$ の端点を軸として摩擦なく回転し、他端は円環と常時接触する。中心の接点を $P$、円環上の $(a,0)$ の接点を $S$ とする。接触抵抗、円環の抵抗、棒・円環の自己インダクタンス、空気抵抗を無視する。

[A] 紙面手前向きの一定磁場 $B_0$ をかける。$P$ を負、$S$ を正とする電圧 $V$ の直流電源を接続し、棒の抵抗を $R$ とする。円環から中心へ流れる電流を正、反時計回りの角速度を正とする。

1. 電流の大きさが $I$ のとき、棒の単位長さ当たりの磁力の大きさを求める。
2. 棒全体に働く磁力のモーメントの大きさを求める。
3. 角速度 $\omega$ のときの誘導起電力の大きさを求める。
4. 棒を流れる符号付き電流を求める。
5. 静止から始めて十分時間が経過した後の角速度の大きさを求める。

[B] 電源の代わりに容量 $C$ のコンデンサを $P,S$ に接続する。

6. 磁場は一定 $B_0$、棒の抵抗は $R$。棒は $(a,0)$ に向けて静止し、初めに $P$ 側に $-Q_0$、$S$ 側に $+Q_0$ を与える。$S$ 側の電荷を $Q(t)$ とし、(ア) $\omega(t)+\boxed{\text{ア}}Q(t)$ を保存量にする係数、(イ) 定常電荷 $Q_\infty$ と $\omega_\infty$ の関係、(ウ) $\omega_\infty$ を求める。
7. 一様な外部磁場を $B(t)=B_1\sin\omega_1t$ とし、棒の抵抗を無視する。$t=0$ で角速度 $\omega_0$、電荷0として、角速度の微分方程式を立て、$t>0$ の角速度を求める。紙面手前向きの磁場と反時計回りの角速度を正とする。

题目描述

将半径 $a$ 的导体圆环固定在 $xy$ 平面内，长度 $a$、线密度 $\lambda$ 的导体棒绕中心 $O$ 无摩擦转动，另一端始终与圆环接触。中心接点为 $P$，圆环上 $(a,0)$ 处接点为 $S$。忽略接触电阻、圆环电阻、棒和圆环的自感以及空气阻力。

[A]

施加垂直纸面向外的恒定磁场 $B_0$。接电压为 $V$ 的直流电源，$P$ 为负极、$S$ 为正极，棒的电阻为 $R$。规定从圆环流向中心的电流为正，逆时针角速度为正。

1. 电流大小为 $I$ 时，求棒单位长度受到的磁力大小。
2. 求磁力关于 $O$ 的总力矩大小。
3. 棒的角速度为 $\omega$ 时，求运动电动势大小。
4. 求棒中带符号的电流 $I$，其中 $RI=V-a^2\omega B_0/2$。
5. 从静止开始，求充分长时间后的角速度大小。

[B]

以电容为 $C$ 的电容器替换电源，仍接在 $P,S$ 之间。

6. 磁场为恒定 $B_0$，棒的电阻为 $R$。初始时棒指向 $(a,0)$ 并静止，$P$ 侧带电 $-Q_0$、$S$ 侧带电 $+Q_0$。记 $S$ 侧电荷为 $Q(t)$。
   1. 利用转动惯量 $\lambda a^3/3$ 建立运动方程，求使 $\omega(t)+\boxed{\text{ア}}Q(t)$ 守恒的系数。
   2. 求定常状态下 $Q_\infty$ 与 $\omega_\infty$ 的关系。
   3. 求 $\omega_\infty$。
7. 改为均匀外部磁场 $B(t)=B_1\sin\omega_1t$，并忽略棒的电阻。给定 $t=0$ 时角速度 $\omega_0$、电容电荷为0，建立角速度的微分方程并求 $t>0$ 时的角速度。仍规定向外的磁场和逆时针角速度为正。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} IB_0 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_0^a r IB_0 dr = \frac{1}{2} a^2 IB_0 \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

(4)

求める電流を $I$ とすると、オームの法則より、

$$\begin{aligned} RI = V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} I = \frac{V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0}{R} \end{aligned}$$

を得る。

(5)

角速度が一定ということは、棒にはたらく力のモーメントが $0$ 、 すなわち、電流が $0$ ということである。 よって、求める角速度の大きさを $\omega_1$ とすると、 (4) より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega_1 B_0 = V \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \omega_1 = \frac{2V}{a^2 B_0} \end{aligned}$$

を得る。

(6)

$k=a^2/2$、棒の慣性モーメント $J=\lambda a^3/3$ とおく。$Q$ は $S$ 側の電荷なので、放電中の電流は $I=-\dot Q$ である。

（ア）

$$J\dot\omega=kB_0I=-kB_0\dot Q, \qquad \omega+\frac{kB_0}{J}Q=\text{一定}.$$

したがって $\boxed{\text{ア}=\dfrac{3B_0}{2\lambda a}}$ である。

（イ）

定常状態では $I=0$ なので、コンデンサ電圧と運動起電力が等しく、

$$\frac{Q_\infty}{C}=kB_0\omega_\infty, \qquad \boxed{Q_\infty=\frac12a^2B_0C\omega_\infty}.$$

（ウ）

初期条件と保存量から $J\omega_\infty+kB_0Q_\infty=kB_0Q_0$。よって

$$\boxed{\omega_\infty=\frac{kB_0Q_0}{J+k^2B_0^2C} =\frac{6B_0Q_0}{4\lambda a+3a^2B_0^2C}}.$$

分母は常に正であり、電荷を失う間に棒が正方向に加速することとも整合する。

(7)

運動起電力だけを残す近似： 時変磁場による変圧器起電力をさらに無視して $Q=kCB\omega$ と置くと、$J\dot\omega=-kB\dot Q$ より

$$(J+k^2CB^2)\dot\omega+k^2CB\dot B\,\omega=0.$$

従って $\omega\sqrt{J+k^2CB^2}$ は一定となり、$B(0)=0$ を使って

$$\boxed{\omega(t)=\frac{\omega_0} {\sqrt{1+\dfrac{3aCB_1^2}{4\lambda}\sin^2\omega_1t}}}$$

を得る。この式は上の追加近似の下でのみ成り立つ。

変圧器起電力も扱うなら、棒と固定された回路の戻り線の間の有向角を $\theta$（$\dot\theta=\omega$）とする扇形回路モデルでは、$Q=kC\,d(B\theta)/dt$ となる。その場合には

$$(J+k^2CB^2)\ddot\theta +2k^2CB\dot B\dot\theta +k^2CB\ddot B\theta=0$$

となり、上の角速度式とは異なる。完全な解を定めるには、戻り線と初期角、円環の誘導電流を扱う抵抗・インダクタンスなどのモデルの明確化が必要である。