東京工業大学 理学院 物理学系 2018年8月実施 午前 [2]

标签：

• 东京科学大学
• 旋转导体的动生电动势
• 循环坐标与动量守恒

Author

Miyake

Description

図のように、導体でできた半径 $a$ の円形レールを中心が原点 O 上にあるように $x$-$y$ 平面上に固定し、その上に長さ $a$ の導体でできた棒を片方の端が原点上にあるように置く。棒は原点上の端点を中心として、もう片方の端点が常にレール上にあるように摩擦なく回転できるものとする。原点には棒に接触する端子 P が、また点 $(a,0)$ にはレールに接触する端子 S がそれぞれ置かれている。棒の単位長さあたりの質量は $\lambda$ であるとする。棒と端子 P、レールと端子 S、および棒の端点とレールはそれぞれ常に接触しているが、その接触抵抗は無視できるものとする。また、レールの電気抵抗、および棒とレールのインダクタンス、棒が回転する際に受ける空気抵抗はいずれも無視できるものとし、レールや棒は変形しないものとする。(1)～(4) では、解答欄に答のみを記入すること。

[A]

系全体に磁束密度の大きさが $B_0$ の紙面の裏から表へ向かう均一な静磁場をかけた場合を考える。棒の初角速度が0の状態で、端子 P 側が負極、端子 S 側が正極となるように一定の電圧 $V$ の直流電源を端子 P、S につないだところ、棒は回転を始めた。棒の電気抵抗を $R$ として、次の各問に答えよ。

(1) レールから棒へと流れる電流の大きさが $I$ であるとき、棒の単位長さあたりに働く力の大きさを求めよ。

(2) レールから棒へと流れる電流の大きさが $I$ であるとき、棒全体が受ける力のモーメントの大きさを求めよ。

(3) 棒が角速度 $\omega$ で反時計回りに回転しているとき、棒全体に生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

(4) 棒が角速度 $\omega$ で反時計回りに回転しているとき、棒に流れる電流を求めよ。ただし、レールから棒に流れる電流の向きを正とする。

(5) 電源を端子 P、S につないでから充分長い時間経過すると、棒の角速度は一定値に近づいた。この角速度の大きさを求めよ。

[B]

端子 P、S に電源ではなく電気容量 $C$ のコンデンサをつないだ場合を考える。次の各問に答えよ。

(6) 系全体に磁束密度の大きさが $B_0$ の紙面の裏から表へ向かう均一な静磁場をかけた場合を考える。棒のレール上の端点が点 $(a,0)$ にあり、静止している状態で、コンデンサの P 側の極板に $-Q_0$ の負電荷を、また S 側の極板に $+Q_0$ の正電荷をそれぞれ同時に与えたところ、棒が回転し始め、やがて充分長い時間経過した後の棒の角速度は一定値に近づいた。この過程に関する次の文章において、空欄（ア）～（ウ）に当てはまる数式を答えよ。ただし、棒の電気抵抗は $R$ とする。

棒の回転の運動方程式より、任意の時刻において、棒の角速度 $\omega(t)$（反時計回りを正とする）とコンデンサの S 側の極板に蓄えられた電荷 $Q(t)$ を含む保存量 $\omega(t)+\boxed{\text{ア}}Q(t)$ が存在する。一方、棒が回転し始めて充分長い時間が経過した後では、棒の角速度 $\omega_\infty$ とコンデンサの S 側の極板に蓄えられた電荷 $Q_\infty$ との間に $Q_\infty=\boxed{\text{イ}}$ の関係が成り立つ。これらより、$\omega_\infty$ は $\boxed{\text{ウ}}$ と表される。

(7) 系全体に磁束密度が $B(t)=B_1\sin\omega_1t$（紙面の裏から表へ向かう磁場の向きを正とする）である均一な磁場をかけた場合を考える。棒の角速度 $\omega(t)$ に対する微分方程式を立てることで、任意の時刻 $t>0$ での棒の角速度（反時計回りを正とする）を求めよ。ただし、$t=0$ での棒の角速度は $\omega_0$ とし、$t=0$ でコンデンサには電荷が蓄えられていないものとする。また、棒の電気抵抗は無視できるものとする。

题目描述

如图，在 $x$-$y$ 平面内固定半径为 $a$、圆心位于原点 O 的导体圆形轨道，并放置一根长为 $a$ 的导体棒，棒的一端位于原点。棒可绕原点端点无摩擦转动，另一端始终位于轨道上。原点设有与棒接触的端子 P，点 $(a,0)$ 设有与轨道接触的端子 S。棒单位长度的质量为 $\lambda$。棒与 P、轨道与 S、棒端与轨道始终接触，忽略接触电阻。还可忽略轨道电阻、棒与轨道的电感和棒转动时的空气阻力，棒与轨道均不变形。(1)～(4) 的答题栏只填写答案。

[A]

对整个系统施加磁通密度大小为 $B_0$、从纸面背面指向正面的均匀静磁场。棒的初始角速度为0，把恒定电压 $V$ 的直流电源接在 P、S 之间，P 为负极、S 为正极，棒开始转动。设棒电阻为 $R$，回答各问。

(1) 从轨道流向棒的电流大小为 $I$ 时，求棒单位长度所受力的大小。

(2) 同样条件下，求整根棒所受力矩的大小。

(3) 棒以角速度 $\omega$ 逆时针转动时，求整根棒的感应电动势大小。

(4) 棒以角速度 $\omega$ 逆时针转动时，求棒中的电流，以从轨道流向棒的方向为正。

(5) 接入电源后经过充分长时间，棒的角速度趋于定值，求该角速度的大小。

[B]

把 P、S 间的电源换成电容量为 $C$ 的电容器，回答各问。

(6) 对系统施加磁通密度大小为 $B_0$、从纸面背面指向正面的均匀静磁场。棒在轨道上的端点位于 $(a,0)$，且初始静止。同时给电容器 P 侧极板负电荷 $-Q_0$、S 侧极板正电荷 $+Q_0$ 后，棒开始转动，并在充分长时间后趋于恒定角速度。填写下述过程说明中的（ア）～（ウ），棒电阻为 $R$。

根据转动运动方程，在任意时刻，棒的角速度 $\omega(t)$（逆时针为正）与电容器 S 侧极板电荷 $Q(t)$ 构成守恒量 $\omega(t)+\boxed{\text{ア}}Q(t)$。经过充分长时间后，角速度 $\omega_\infty$ 与 S 侧极板电荷 $Q_\infty$ 满足 $Q_\infty=\boxed{\text{イ}}$。由此得到 $\omega_\infty=\boxed{\text{ウ}}$。

(7) 对整个系统施加均匀磁场 $B(t)=B_1\sin\omega_1t$，以从纸面背面指向正面为正。建立角速度 $\omega(t)$ 的微分方程，求任意 $t>0$ 时棒的角速度，以逆时针为正。已知 $t=0$ 时角速度为 $\omega_0$，电容器无储存电荷，并且棒电阻可以忽略。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} IB_0 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_0^a r IB_0 dr = \frac{1}{2} a^2 IB_0 \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

(4)

求める電流を $I$ とすると、オームの法則より、

$$\begin{aligned} RI = V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} I = \frac{V - \frac{1}{2} a^2 \omega B_0}{R} \end{aligned}$$

を得る。

(5)

角速度が一定ということは、棒にはたらく力のモーメントが $0$ 、 すなわち、電流が $0$ ということである。 よって、求める角速度の大きさを $\omega_1$ とすると、 (4) より、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} a^2 \omega_1 B_0 = V \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \omega_1 = \frac{2V}{a^2 B_0} \end{aligned}$$

を得る。

(6)

$k=a^2/2$、棒の慣性モーメント $J=\lambda a^3/3$ とおく。$Q$ は $S$ 側の電荷なので、放電中の電流は $I=-\dot Q$ である。

（ア）

$$\begin{gathered} J\dot\omega=kB_0I=-kB_0\dot Q,\\ \omega+\frac{kB_0}{J}Q=\text{一定}. \end{gathered}$$

したがって $\boxed{\text{ア}=\dfrac{3B_0}{2\lambda a}}$ である。

（イ）

定常状態では $I=0$ なので、コンデンサ電圧と運動起電力が等しく、

$$\frac{Q_\infty}{C}=kB_0\omega_\infty, \qquad \boxed{Q_\infty=\frac12a^2B_0C\omega_\infty}.$$

（ウ）

初期条件と保存量から $J\omega_\infty+kB_0Q_\infty=kB_0Q_0$。よって

$$\boxed{\omega_\infty=\frac{kB_0Q_0}{J+k^2B_0^2C} =\frac{6B_0Q_0}{4\lambda a+3a^2B_0^2C}}.$$

分母は常に正であり、電荷を失う間に棒が正方向に加速することとも整合する。

(7)

運動起電力だけを残す近似： 時変磁場による変圧器起電力をさらに無視して $Q=kCB\omega$ と置くと、$J\dot\omega=-kB\dot Q$ より

$$(J+k^2CB^2)\dot\omega+k^2CB\dot B\,\omega=0.$$

従って $\omega\sqrt{J+k^2CB^2}$ は一定となり、$B(0)=0$ を使って

$$\boxed{\omega(t)=\frac{\omega_0} {\sqrt{1+\dfrac{3aCB_1^2}{4\lambda}\sin^2\omega_1t}}}$$

を得る。この式は上の追加近似の下でのみ成り立つ。

変圧器起電力も扱うなら、棒と固定された回路の戻り線の間の有向角を $\theta$（$\dot\theta=\omega$）とする扇形回路モデルでは、$Q=kC\,d(B\theta)/dt$ となる。その場合には

$$(J+k^2CB^2)\ddot\theta +2k^2CB\dot B\dot\theta +k^2CB\ddot B\theta=0$$

となり、上の角速度式とは異なる。完全な解を定めるには、戻り線と初期角、円環の誘導電流を扱う抵抗・インダクタンスなどのモデルの明確化が必要である。

Reference

• 公式問題PDF、4–5ページ