東京工業大学 理学院 数学系 2021年8月実施 午前 [1]

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• Permutation-Matrix-and-Minimal-Polynomial
• Eigenvalues-and-Eigenvectors

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約

公式問題PDF、2ページ

$V$ は順序付き基底 $v_1,\ldots,v_5$ を持つ5次元複素ベクトル空間とする。置換 $\sigma=(1\ 3\ 5)(2\ 4)$ により $f_\sigma(v_i)=v_{\sigma(i)}$ と定め、その基底に関する表現行列を $A_\sigma$ とする。

1. $A_\sigma$ の固有多項式と最小多項式を求める。
2. $f_\sigma$ の全ての固有値、およびそれぞれの固有空間の基底を1組ずつ求める。

题目描述

设五维复线性空间有有序基

$$(\boldsymbol v_1,\boldsymbol v_2,\boldsymbol v_3, \boldsymbol v_4,\boldsymbol v_5),$$

线性映射 $f_\sigma$ 在该基上满足

$$\begin{aligned} f_\sigma(\boldsymbol v_1)&=\boldsymbol v_3,& f_\sigma(\boldsymbol v_2)&=\boldsymbol v_4,\\ f_\sigma(\boldsymbol v_3)&=\boldsymbol v_5,& f_\sigma(\boldsymbol v_4)&=\boldsymbol v_2,\\ f_\sigma(\boldsymbol v_5)&=\boldsymbol v_1. \end{aligned}$$

这对应置换的两个循环

$$(1\ 3\ 5)(2\ 4).$$

1. 求表示矩阵 $A_\sigma$ 的特征多项式及最小多项式，可写出矩阵并验证最小多项式对矩阵的作用为零。
2. 求 $f_\sigma$ 的全部特征值，并分别给出各个特征空间的一组基。

Kai

(1)

まず、

$$\begin{align} \begin{pmatrix} f_\sigma(\boldsymbol{v}_1) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_2) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_3) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_4) & f_\sigma(\boldsymbol{v}_5) \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \boldsymbol{v}_3 & \boldsymbol{v}_4 & \boldsymbol{v}_5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ A_\sigma &= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

である。

$A_\sigma$ の固有多項式を $f(x)$ とすると、

$$\begin{align} f(x) &= \det \begin{pmatrix} x & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & x & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & x \\ \end{pmatrix} \\ &= x^5 - x^3 - x^2 + 1 \\ &= (x+1)(x-1)^2(x^2+x+1) \end{align}$$

である。また、

$$\begin{align} g(x) &= (x+1)(x-1)(x^2+x+1) \end{align}$$

とおくと

$$\begin{align} g(A_\sigma) &= \text{零行列} \end{align}$$

が成り立つ。また、$A_\sigma$ の固有値 $1,-1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}$ はすべて現れるため、$A_\sigma$ を零化する多項式は $g(x)$ で割り切れる。したがって、$g(x)$ が $A_\sigma$ の最小多項式である。

(2)

$\omega=e^{2\pi i/3}$ とする。前問の固有多項式から固有値は $1,-1,\omega,\omega^2$ である。各固有空間の基底は

$$\begin{array}{c|l} \text{固有値}&\text{基底}\\\hline 1&v_1+v_3+v_5,\quad v_2+v_4\\ -1&v_2-v_4\\ \omega&v_1+\omega^2v_3+\omega v_5\\ \omega^2&v_1+\omega v_3+\omega^2v_5 \end{array}$$

である。例えば $f_\sigma(v_1+\omega^2v_3+\omega v_5)=\omega v_1+v_3+\omega^2v_5=\omega(v_1+\omega^2v_3+\omega v_5)$。他も同様に確認でき、上の5本は一次独立なので各固有空間を尽くす。