東京工業大学理学院地球惑星科学系 2021年8月実施午前 [3]

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Miyake, 祭音Myyura

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題意の要約

公式問題PDF、7–8ページ

3-1

実 $n\times n$ 行列 $A$ （ $n\ge3$ ）が相異なる固有値 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ と対応する非零固有ベクトル $x_1,\ldots,x_n$ を持つ。

3-1-1： $x_1,\ldots,x_{n-1}$ は一次独立で、 $x_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i$ （少なくとも1つの実係数 $a_i$ は非零）と仮定する。 $Ax_n$ を $a_i,x_i,\lambda_i$ で表す。
3-1-2：その仮定から矛盾を導き、相異なる固有値の固有ベクトルが一次独立であることを示す。

3-2

$-1<p<0$ に対する $I=\int_0^\infty x^p/(1+x)\,dx$ を考える。 $z^p=r^pe^{ip\theta}$ （ $0<\theta<2\pi$ ）の枝を用いる。

3-2-1： $0<\varepsilon<1<R$ とし、正実軸の上岸 $C_1:r=\varepsilon\to R$ 、外円 $C_2:r=R,\theta=0\to2\pi$ 、下岸 $C_3:r=R\to\varepsilon,\theta=2\pi$ 、内円 $C_4:r=\varepsilon,\theta=2\pi\to0$ を順につなぐ。留数定理から $J=\oint_C z^p/(z+1)\,dz$ を求める。
3-2-2： $I$ を実数だけで表す。

鍵穴型積分経路

3-3

独立な $N$ 枚のコインについて、表の確率を $p$ 、裏を $1-p$ とし、 $X_i=1$ （表）または0（裏）と定める。

3-3-1： $E(X_i)$ と、 $i\ne j$ のときの $E(X_iX_j)$ を求める。
3-3-2：表の総数 $n$ を $X_i$ で表し、 $E(n),V(n)$ を求める。
3-3-3-1：場合の数から確率質量関数 $f(n)$ を求める。
3-3-3-2： $N,n$ が十分大きい領域で、 $\log M!\simeq M\log M-M$ を用い、 $f(n)$ を最大にする $n_*$ を近似的に求める。
3-3-3-3： $\log f(n)$ を $n_*$ の周りで2次まで展開し、 $n-n_*$ が標準偏差 $\sqrt{V(n)}$ 程度のときの正規近似を示す。

题目描述

3-1： 实 $n\times n$ 矩阵 $A$ （ $n\ge3$ ）有互不相同的特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，及对应非零特征向量 $x_1,\ldots,x_n$ 。
1. 假设 $x_1,\ldots,x_{n-1}$ 线性无关，且 $x_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i$ ，实系数中至少一个非零。用 $a_i,x_i,\lambda_i$ 表示 $Ax_n$ 。
2. 由假设导出矛盾，证明不同特征值对应的特征向量线性无关。
3-2： 设 $-1<p<0$ ，计算 $I=\int_0^\infty x^p/(1+x)\,dx$ 。取 $z^p=r^pe^{ip\theta}$ 的分支 $0<\theta<2\pi$ 。
1. 对 $0<\varepsilon<1<R$ ，沿正实轴上侧由 $\varepsilon$ 到 $R$ ，再逆时针绕外圆，沿正实轴下侧由 $R$ 回到 $\varepsilon$ ，最后顺时针绕内圆闭合。使用留数定理求 $J=\oint_Cz^p/(z+1)\,dz$ 。
2. 只用实数表示 $I$ 。
3-3： 设 $X_1,\ldots,X_N$ 相互独立，且

$P(X_i=1)=p,\qquad P(X_i=0)=1-p,$

并令成功次数

$n=\sum_{i=1}^NX_i.$
1. 求 $E(X_i)$ ；对 $i\neq j$ ，求 $E(X_iX_j)$ 。
2. 求 $E(n)$ 与 $V(n)$ 。
3. 研究 $n$ 的二项分布：
  1. 写出概率质量函数
    
    $f(n)=P\!\left(\sum_{i=1}^NX_i=n\right).$
  2. 令 $g(n)=\log f(n)$ 。在
    
    $N\gg1,\qquad n\gg1,\qquad N-n\gg1$
    
    时使用 Stirling 近似，并暂把 $n$ 视为实数，通过 $g'(n)$ 求分布峰值位置 $n_*$ 。
  3. 在 $n=n_*$ 附近把 $g(n)$ 作二阶 Taylor 展开，说明当 $n-Np$ 为 $\sqrt{Np(1-p)}$ 量级时，二项分布可近似为均值 $Np$ 、标准差 $\sqrt{Np(1-p)}$ 的正态分布。

Kai

3-1

3-1-1

線形性から $\boxed{Ax_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_i\lambda_i x_i}$ である。一方、 $x_n$ は固有値 $\lambda_n$ に属するので、 $Ax_n=\lambda_n\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i$ でもある。

3-1-2

両式を引くと $\sum_{i=1}^{n-1}a_i(\lambda_i-\lambda_n)x_i=0$ 。仮定した一次独立性と $\lambda_i\ne\lambda_n$ により全ての $a_i=0$ となり、仮定に矛盾する。非零ベクトル1本は一次独立なので、この議論を本数について帰納的に適用すれば全ての $x_i$ の一次独立性が得られる。

3-2

3-2-1

正実軸を切断した枝で $(-1)^p=e^{i\pi p}$ である。経路内の極は $z=-1$ のみで、留数は $e^{i\pi p}$ だから、

$\boxed{J=2\pi i e^{i\pi p}}.$

3-2-2

外円の積分は $O(R^p)$ 、内円の積分は $O(\varepsilon^{p+1})$ なので、それぞれ $R\to\infty,\ \varepsilon\to0$ で0となる。上下の岸では積分の向きが逆で、 $z^p$ の値に $e^{2\pi ip}$ の比があるため、

(1-e^{2\pi ip})I=2\pi i e^{i\pi p}.

$1-e^{2\pi ip}=-2ie^{i\pi p}\sin\pi p$ より

$\boxed{I=-\frac\pi{\sin\pi p}}.$

3-3

3-3-1

\begin{align} E(X_i) &= 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\ &= p \\ E(X_iX_j) &= E(X_i)E(X_j) \\ &= p^2 \end{align}

3-3-2

\begin{align} n &= \sum_{i=1}^N X_i \\ E(n) &= \sum_{i=1}^N E(X_i) \\ &= Np \\ E \left( n^2 \right) &= \sum_{i=1}^N E \left( X_i^2 \right) + \sum_{i,j \ (i \neq j)} E \left( X_i X_j \right) \\ &= Np + N(N-1)p^2 \\ V(n) &= E \left( n^2 \right) - E(n)^2 \\ &= Np + N(N-1)p^2 - N^2p^2 \\ &= Np(1-p) \end{align}

3-3-3

3-3-3-1

\begin{align} f(n) &= {}_NC_n p^n(1-p)^{N-n} \\ &= \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n} \end{align}

3-3-3-2

$g(n) = \log f(n)$ とおくと、

\begin{align} g(n) &= \log f(n) \\ &= \log N! - \log n! - \log (N-n)! + n \log p + (N-n) \log (1-p) \\ &\simeq N \log N - n \log n - (N-n) \log (N-n) + n \log p + (N-n) \log (1-p) \ \ \ \ \ \ \ \ (N \gg 1, \ n \gg 1, \ N-n \gg 1) \end{align}

である。 $n$ が実数であるとして導関数を求めると、

\begin{align} g'(n) &\simeq - \log n - 1 + \log (N-n) + 1 + \log p - \log (1-p) \\ &= \log \frac{(N-n)p}{n(1-p)} \end{align}

となるので、以下の増減表を得る：

\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline n & 0 & \cdots & Np & \cdots & N \\ \hline g' & & + & 0 & - & \\ \hline g & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline f & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array}

よって、Stirling の主要項を用いた連続変数としての近似では $n_*\simeq Np$ である。厳密な二項分布の最頻値は $\lfloor(N+1)p\rfloor$ （ $(N+1)p$ が整数ならその1つ下も最頻値）であり、ここで求めているのはその大標本近似である。

3-3-3-3

3-3-3-2. の $g(n)$ の2階導関数は

\begin{align} g''(n) &\simeq - \frac{N}{n(N-n)} \end{align}

であり、

\begin{align} g'(n_*) &= 0 \\ g''(n_*) &= - \frac{1}{Np(1-p)} \end{align}

であるから、 $g(n)$ の $n=n_* (=Np)$ のまわりでの2次までのテイラー展開は

\begin{align} g(n) &= g(n_*) - \frac{1}{2Np(1-p)} (n-Np)^2 + \cdots \end{align}

である。正規化定数にも Stirling 近似を用いると、 $0<p<1$ かつ $Np,N(1-p)\gg1$ のもとで、 $n-Np$ が $\sqrt{Np(1-p)}$ 程度の範囲内において

\begin{align} f(n) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi Np(1-p)}} e^{- \frac{(n-Np)^2}{2Np(1-p)}} \end{align}

と書け、これは期待値 $Np$ 標準偏差 $\sqrt{Np(1-p)}$ の正規分布である。

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