東京工業大学 理学院 地球惑星科学系 2021年8月実施 午前 [3]

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• 东京科学大学
• 二项分布
• 用斯特林公式推导二项分布的正态近似

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

次の各問いに答えよ。

3-1

行列 $A$ を、実数を成分とする $n$ 行 $n$ 列の行列とする（$n$ は3以上の整数）。行列 $A$ の固有値を $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ とし、これらは全て相異なるとする。また、固有値 $\lambda_i\ (i=1,\ldots,n)$ に属する固有ベクトルを $\boldsymbol x_i$ とする。

このとき、$n$ 個の固有ベクトルは一次独立であることを示したい。次の問いに答えよ。

3-1-1. まず、$\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_{n-1}$ は一次独立であるが、$\boldsymbol x_n$ は独立ではなく、

$$\boldsymbol x_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_i\boldsymbol x_i\tag{1}$$

と表せると仮定してみる。ただし、$a_i\ (i=1,\ldots,n-1)$ は実数の定数であり、少なくとも1つは0でないとする。このとき、$A\boldsymbol x_n$ を $a_i,\boldsymbol x_i,\lambda_i\ (i=1,\ldots,n-1)$ を用いて表せ。

3-1-2. 前問の仮定が「固有値は全て相異なる」という前提と矛盾していることを示すことにより、$\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_n$ は一次独立であることを示せ。

3-2

次の実関数の積分 $I$ の値を求めたい。ただし、$p$ は実数で $-1<p<0$ である。

$$I=\int_0^\infty\frac{x^p}{x+1}\,dx\tag{2}$$

3-2-1. 複素数 $z$ の関数 $z^p/(z+1)$ を考える。複素平面上の積分路 $C$ を、図1のように $C_1,C_2,C_3,C_4$ を合わせて設定する。ただし、$\epsilon$ と $R$ は積分路の半径を表す実数で、$0<\epsilon<1$、$1<R$ とする。留数定理を用い、次の積分 $J$ の値を求めよ。

$$J=\oint_C\frac{z^p}{z+1}\,dz\tag{3}$$

3-2-2. 積分 $I$ の値を求めよ。ただし、値は実数のみを用いて表すこと。

3-3

確率 $p$ で表、確率 $1-p$ で裏が出るコイン $N$ 枚を一斉に投げて、表が出るか裏が出るかをみる。各々のコインの振る舞いは独立とする。コインに $i=1,2,\ldots,N$ と名前をつけ、$i$ 番目のコインが表なら1、裏なら0という値をとる確率変数 $X_i$ を定義する。

3-3-1. $X_i$ について、期待値 $E(X_i)$、$E(X_iX_j)\ (i\ne j)$ をそれぞれ求めよ。

3-3-2. 表を向いているコインの総数を $n$ とする。$n$ を $X_i$ を用いて表し、期待値 $E(n)$ と分散 $V(n)$ をそれぞれ求めよ。ここで、$X$ を任意の確率変数とするとき、$V(X)=E\{(X-E(X))^2\}$ である。

3-3-3. 表を向いているコインの総数 $n$ が従う確率分布 $f(n)$ について考える。以下の問いに答えよ。なお、十分に大きな数 $M\ (\gg1)$ に対しては Stirling の公式 $\log M!\sim M\log M-M$ を用いよ。$\log$ は自然対数を表す。

3-3-3-1. $f(n)$ を、場合の数を考えることによって求めよ。

3-3-3-2. $N,n$ がともに十分に大きい（$1\ll n\ll N$）とき、$f(n)$ を最大にする $n$ の値 $n_*$ を求めよ。

3-3-3-3. $N,n$ がともに十分に大きい（$1\ll n\ll N$）とき、$f(n)$ はどのような確率分布に近づくか。$\log f(n)$ を $n=n_*$ のまわりで2次の項まで展開し、$n-n_*$ が標準偏差 $D(n)=\sqrt{V(n)}$ 程度の範囲内における $f(n)$ の具体的な形を示して論じよ。

题目描述

回答下列各问。

3-1

设 $A$ 为实数元素的 $n\times n$ 矩阵，$n\ge3$ 为整数。其特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 互不相同，属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量记为 $\boldsymbol x_i$。现要证明这 $n$ 个特征向量线性无关，回答下列问题。

3-1-1. 先假定 $\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_{n-1}$ 线性无关，而 $\boldsymbol x_n$ 可写为

$$\boldsymbol x_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_i\boldsymbol x_i,$$

其中实常数 $a_i\ (i=1,\ldots,n-1)$ 至少有一个不为0。用 $a_i,\boldsymbol x_i,\lambda_i\ (i=1,\ldots,n-1)$ 表示 $A\boldsymbol x_n$。

3-1-2. 证明上一问的假设与“特征值互不相同”矛盾，由此证明 $\boldsymbol x_1,\ldots,\boldsymbol x_n$ 线性无关。

3-2

计算实函数的积分

$$I=\int_0^\infty\frac{x^p}{x+1}\,dx,$$

其中 $p$ 为满足 $-1<p<0$ 的实数。

3-2-1. 考虑复变函数 $z^p/(z+1)$。如图1，将 $C_1,C_2,C_3,C_4$ 合成积分路径 $C$。$\epsilon,R$ 是表示积分路径半径的实数，满足 $0<\epsilon<1<R$。用留数定理计算

$$J=\oint_C\frac{z^p}{z+1}\,dz.$$

图1中 $z=re^{i\theta}$，路径为：$C_1$ 上 $\theta=0,r:\epsilon\to R$；$C_2$ 上 $r=R,\theta:0\to2\pi$；$C_3$ 上 $\theta=2\pi,r:R\to\epsilon$；$C_4$ 上 $r=\epsilon,\theta:2\pi\to0$。

3-2-2. 计算 $I$，结果只用实数表示。

3-3

同时投掷 $N$ 枚硬币，每枚以概率 $p$ 出现正面、以概率 $1-p$ 出现反面，且各硬币相互独立。将硬币编号为 $i=1,2,\ldots,N$，定义 $X_i$ 为第 $i$ 枚硬币正面时取1、反面时取0的随机变量。

3-3-1. 分别求 $E(X_i)$ 和 $E(X_iX_j)\ (i\ne j)$。

3-3-2. 设正面硬币总数为 $n$，用 $X_i$ 表示 $n$，并分别求 $E(n)$ 和 $V(n)$。任意随机变量 $X$ 的方差定义为 $V(X)=E\{(X-E(X))^2\}$。

3-3-3. 考虑正面总数 $n$ 的概率分布 $f(n)$，回答以下各问。对充分大的 $M\gg1$ 使用 Stirling 公式 $\log M!\sim M\log M-M$，其中 $\log$ 为自然对数。

3-3-3-1. 通过计数求 $f(n)$。

3-3-3-2. 当 $N,n$ 均充分大（$1\ll n\ll N$）时，求使 $f(n)$ 最大的 $n_*$。

3-3-3-3. 当 $N,n$ 均充分大（$1\ll n\ll N$）时，$f(n)$ 趋近于何种概率分布？将 $\log f(n)$ 在 $n=n_*$ 附近展开到二次项，给出 $n-n_*$ 处于标准差 $D(n)=\sqrt{V(n)}$ 量级范围内时 $f(n)$ 的具体形式，并加以讨论。

Kai

3-1

3-1-1

線形性から $\boxed{Ax_n=\sum_{i=1}^{n-1}a_i\lambda_i x_i}$ である。一方、$x_n$ は固有値 $\lambda_n$ に属するので、$Ax_n=\lambda_n\sum_{i=1}^{n-1}a_ix_i$ でもある。

3-1-2

両式を引くと $\sum_{i=1}^{n-1}a_i(\lambda_i-\lambda_n)x_i=0$。仮定した一次独立性と $\lambda_i\ne\lambda_n$ により全ての $a_i=0$ となり、仮定に矛盾する。非零ベクトル1本は一次独立なので、この議論を本数について帰納的に適用すれば全ての $x_i$ の一次独立性が得られる。

3-2

3-2-1

正実軸を切断した枝で $(-1)^p=e^{i\pi p}$ である。経路内の極は $z=-1$ のみで、留数は $e^{i\pi p}$ だから、

$$\boxed{J=2\pi i e^{i\pi p}}.$$

3-2-2

外円の積分は $O(R^p)$、内円の積分は $O(\varepsilon^{p+1})$ なので、それぞれ $R\to\infty,\ \varepsilon\to0$ で0となる。上下の岸では積分の向きが逆で、$z^p$ の値に $e^{2\pi ip}$ の比があるため、

$$(1-e^{2\pi ip})I=2\pi i e^{i\pi p}.$$

$1-e^{2\pi ip}=-2ie^{i\pi p}\sin\pi p$ より

$$\boxed{I=-\frac\pi{\sin\pi p}}.$$

3-3

3-3-1

$$\begin{align} E(X_i) &= 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) \\ &= p \\ E(X_iX_j) &= E(X_i)E(X_j) \\ &= p^2 \end{align}$$

3-3-2

$$\begin{align} n &= \sum_{i=1}^N X_i \\ E(n) &= \sum_{i=1}^N E(X_i) \\ &= Np \\ E \left( n^2 \right) &= \sum_{i=1}^N E \left( X_i^2 \right) + \sum_{i,j \ (i \neq j)} E \left( X_i X_j \right) \\ &= Np + N(N-1)p^2 \\ V(n) &= E \left( n^2 \right) - E(n)^2 \\ &= Np + N(N-1)p^2 - N^2p^2 \\ &= Np(1-p) \end{align}$$

3-3-3

3-3-3-1

$$\begin{align} f(n) &= {}_NC_n p^n(1-p)^{N-n} \\ &= \frac{N!}{n!(N-n)!} p^n(1-p)^{N-n} \end{align}$$

3-3-3-2

$g(n) = \log f(n)$ とおくと、

$$\begin{gathered} g(n)=\log f(n) \\ =\log N!-\log n!-\log(N-n)! \\ {}+n\log p+(N-n)\log(1-p) \\ \simeq N\log N-n\log n-(N-n)\log(N-n) \\ {}+n\log p+(N-n)\log(1-p) \\ (N\gg1,\ n\gg1,\ N-n\gg1) \end{gathered}$$

である。 $n$ が実数であるとして導関数を求めると、

$$\begin{align} g'(n) &\simeq - \log n - 1 + \log (N-n) + 1 + \log p - \log (1-p) \\ &= \log \frac{(N-n)p}{n(1-p)} \end{align}$$

となるので、以下の増減表を得る：

$$\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline n & 0 & \cdots & Np & \cdots & N \\ \hline g' & & + & 0 & - & \\ \hline g & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline f & & \nearrow & & \searrow & \\ \hline \end{array}$$

よって、Stirling の主要項を用いた連続変数としての近似では $n_*\simeq Np$ である。厳密な二項分布の最頻値は $\lfloor(N+1)p\rfloor$（$(N+1)p$ が整数ならその1つ下も最頻値）であり、ここで求めているのはその大標本近似である。

3-3-3-3

3-3-3-2. の $g(n)$ の2階導関数は

$$\begin{align} g''(n) &\simeq - \frac{N}{n(N-n)} \end{align}$$

であり、

$$\begin{align} g'(n_*) &= 0 \\ g''(n_*) &= - \frac{1}{Np(1-p)} \end{align}$$

であるから、 $g(n)$ の $n=n_* (=Np)$ のまわりでの2次までのテイラー展開は

$$\begin{align} g(n) &= g(n_*) - \frac{1}{2Np(1-p)} (n-Np)^2 + \cdots \end{align}$$

である。 正規化定数にも Stirling 近似を用いると、$0<p<1$ かつ $Np,N(1-p)\gg1$ のもとで、$n-Np$ が $\sqrt{Np(1-p)}$ 程度の範囲内において

$$\begin{align} f(n) &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi Np(1-p)}} e^{- \frac{(n-Np)^2}{2Np(1-p)}} \end{align}$$

と書け、これは期待値 $Np$ 標準偏差 $\sqrt{Np(1-p)}$ の正規分布である。

Reference

• 大学公式問題