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東京科学大学 生命理工学院 生命理工学系 2024年度 午前 ⑦

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

以下は公式問題の12ページをもとにした独立要約である。

逐次一次反応

A→kaB→kbCA\xrightarrow{k_a}B\xrightarrow{k_b}C

を考える。初期条件を [A](0)=[A]0,[B](0)=[C](0)=0[A](0)=[A]_0,[B](0)=[C](0)=0 とし、逆反応と副反応は無視し、温度と圧力は一定とする。

  1. 物質収支を示せ。
  2. [A][A] の速度式を示せ。
  3. [B][B] の速度式を示せ。
  4. [C]={1+ア/(kb−ka)}[A]0[C]=\{1+\boxed{\text{ア}}/(k_b-k_a)\}[A]_0 の空欄アを、kae−kbtk_ae^{-k_bt} と kbe−katk_be^{-k_at} を用いて表せ。
  5. [B][B] が最大となる時刻 tmax⁡t_{\max} を求めよ。

Kai​

1)​

[A]0=[A]+[B]+[C].\boxed{[A]_0=[A]+[B]+[C]}.

2)​

d[A]dt=−ka[A],[A]=[A]0e−kat.\boxed{\frac{d[A]}{dt}=-k_a[A]},\qquad [A]=[A]_0e^{-k_at}.

3)​

d[B]dt=ka[A]−kb[B].\boxed{\frac{d[B]}{dt}=k_a[A]-k_b[B]}.

4)​

以下ではka,kb>0k_a,k_b>0、ka≠kbk_a\ne k_b とする。

積分因子 ekbte^{k_bt} を用いると

[B]=ka[A]0kb−ka(e−kat−e−kbt).[B]=\frac{k_a[A]_0}{k_b-k_a}\left(e^{-k_at}-e^{-k_bt}\right).

したがって

[C]={1+kae−kbt−kbe−katkb−ka}[A]0,[C]=\left\{1+\frac{k_ae^{-k_bt}-k_be^{-k_at}}{k_b-k_a}\right\}[A]_0,

ゆえに空欄は

kae−kbt−kbe−kat.\boxed{k_ae^{-k_bt}-k_be^{-k_at}}.

5)​

d[B]dt=0  ⟺  kbe−kbt=kae−kat.\frac{d[B]}{dt}=0 \iff k_be^{-k_bt}=k_ae^{-k_at}.

よって

tmax⁡=log⁡(kb/ka)kb−ka.\boxed{t_{\max}=\frac{\log(k_b/k_a)}{k_b-k_a}}.

ka=kb=k>0k_a=k_b=k>0 の場合は、上の式の極限または速度式を直接解くことで [B]=k[A]0te−kt[B]=k[A]_0te^{-kt}、[C]=[A]0{1−(1+kt)e−kt}[C]=[A]_0\{1-(1+kt)e^{-kt}\}、tmax⁡=1/kt_{\max}=1/k となる。

Reference​

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