東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2021年8月実施 午後 問題B [問題1]

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• Resonant-Forcing

Author

Miyake

Description

日本語

1と2はそれぞれ別の答案用紙に解答せよ。

1. 以下の常微分方程式の厳密解を、虚数を使わずに求めよ。

   (1) $f''(t)-4f'(t)+4f(t)=0,\quad f(0)=3,\quad f'(0)=4$。

   (2) $f''(t)-4f'(t)+3f(t)=e^t,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=3$。

   (3) $f''(t)+3f'(t)+2f(t)=8t^2,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=0$。

2. 非負の実数値をとるなめらかな曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸のまわりに回転させる。

   (1) $a\le x\le b$ の部分を回転してできる回転面の面積 $S$ の式を導出せよ。

   (2) (1)の式を用いて、$y=\sqrt{c^2-x^2}$ を回転してできる回転面の面積について、$a,b$ を変えたときの最大値を求めよ。ただし $c>0$ は定数とする。

题目描述

第1题与第2题分别在不同的答题纸上作答。

1. 求以下常微分方程的精确解，不使用虚数表示：

   (1) $f''(t)-4f'(t)+4f(t)=0,\quad f(0)=3,\quad f'(0)=4$。

   (2) $f''(t)-4f'(t)+3f(t)=e^t,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=3$。

   (3) $f''(t)+3f'(t)+2f(t)=8t^2,\quad f(0)=0,\quad f'(0)=0$。

2. 将取非负实数值的光滑曲线 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转。

   (1) 推导区间 $a\le x\le b$ 上的曲线所生成旋转曲面的面积 $S$ 的公式。

   (2) 对 $y=\sqrt{c^2-x^2}$（$c>0$），使用第(1)问的公式，求改变区间端点 $a,b$ 时旋转曲面面积的最大值。

Kai

1.

(1)

$f(t)=e^{\lambda t}$ を与えられた微分方程式に代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 4 \lambda + 4 = (\lambda-2)^2 = 0 \end{aligned}$$

となるので、一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t} \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=3, C_2=-2$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = (3 - 2t) e^{2t} \end{aligned}$$

が求める解である。

(2)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)-4f'(t)+3f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} \end{aligned}$$

である。 また、 $f(t)=Ate^t$ を与えられた微分方程式に代入すると $A = -1/2$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^t + C_2 e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-7/4, C_2=7/4$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = -\frac{7}{4} e^t + \frac{7}{4} e^{3t} - \frac{1}{2} t e^t \end{aligned}$$

が求める解である。

(3)

与えられた微分方程式を斉次にした $f''(t)+3f'(t)+2f(t)=0$ の一般解は、積分定数を $C_1, C_2$ として、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} \end{aligned}$$

である。 また、 $f(t)=At^2+Bt+C$ を与えられた微分方程式に代入すると $A=4,B=-12,C=14$ を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、

$$\begin{aligned} f(t) = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}$$

である。 初期条件を満たすためには、 $C_1=-16, C_2=2$ とすればよく、

$$\begin{aligned} f(t) = -16 e^{-t} + 2 e^{-2t} + 4t^2 - 12t + 14 \end{aligned}$$

が求める解である。

2.

(1)

曲線の弧長要素は $ds=\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。半径 $f(x)$ の微小な帯の面積は $dS=2\pi f(x)\,ds$ だから、

$$\boxed{S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx}.$$

(2)

$-c<x<c$ では

$$f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{c^2-x^2}},\qquad f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}=c.$$

よって、$-c\le a<b\le c$ に対し（端点は広義積分として扱う）、

$$S=2\pi c(b-a)\le2\pi c\cdot2c=4\pi c^2.$$

等号は $a=-c,\ b=c$ のとき成立する。したがって最大値は

$$\boxed{S_{\max}=4\pi c^2}.$$