東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 午後 問題B [問題3]

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

ある都市では，積乱雲による集中豪雨が平均して 100 日に 2 回発生している．集中豪雨の発生は時間的にポアソン過程に従うものとする．集中豪雨の発生後，竜巻が発生する確率を 0.1 とする．竜巻が発生したときに，ある建物が停電する確率を 0.5 とし，竜巻が発生しないときに，ある建物が停電する確率を 0.05 とする．以下の問いに答えよ．なお，確率の値は小数点以下 4 桁まで答えよ．また，必要に応じて表 3-1 を使用してよい．

1. 30 日間に 1 回だけ，集中豪雨が発生する確率を求めよ．

2. 30 日間に 1 回以上，集中豪雨が発生する確率を求めよ．

3. 10 日間の集中豪雨発生が 1 回以内である確率を求めよ．

4. 10 日間に集中豪雨が 1 回だけ発生し，ある建物が停電する確率を求めよ．

5. 10 日間に集中豪雨が発生し，ある建物が停電する確率を求めよ．

题目描述

某城市由积雨云引发的集中暴雨平均每 $100$ 天发生 $2$ 次，且其发生过程服从时间上的泊松过程。每次集中暴雨发生后，出现龙卷风的概率为 $0.1$；若出现龙卷风，某栋建筑停电的概率为 $0.5$，若未出现龙卷风，该建筑停电的概率为 $0.05$。回答下列问题，所有概率均保留到小数点后四位；必要时可使用题面所指的表 3-1。

1. 求 $30$ 天内恰好发生一次集中暴雨的概率。

2. 求 $30$ 天内至少发生一次集中暴雨的概率。

3. 求 $10$ 天内集中暴雨发生次数不超过一次的概率。

4. 求 $10$ 天内恰好发生一次集中暴雨且该建筑停电的概率。

5. 求 $10$ 天内发生集中暴雨且该建筑停电的概率。

公式問題PDF、18–19ページ

表3-1は $e^{-x}$ の数表であり、例えば $e^{-0.2}\simeq0.8187$、$e^{-0.6}\simeq0.5488$ を参照できる。全表はリンク先にある。

Kai

1日当たりの集中豪雨発生率は $2/100=0.02$ である。したがって、 $d$ 日間の発生回数 $N_d$ は平均 $0.02d$ のPoisson分布に従う。また、1回の集中豪雨後に停電する確率は全確率の公式より

$$q=0.1\cdot0.5+(1-0.1)\cdot0.05=0.0950$$

である。

1.

30日では平均が $0.6$ なので、

$$P(N_{30}=1)=e^{-0.6}\frac{0.6^1}{1!}=0.329286\ldots$$

したがって

$$\boxed{0.3293}$$

である。

2.

$$P(N_{30}\ge1)=1-P(N_{30}=0)=1-e^{-0.6}=0.451188\ldots$$

より、

$$\boxed{0.4512}$$

である。

3.

10日では平均が $0.2$ なので、

$$P(N_{10}\le1)=e^{-0.2}(1+0.2)=0.982476\ldots$$

したがって

$$\boxed{0.9825}$$

である。

4.

発生回数がちょうど1回で、その豪雨後に停電する確率は

$$P(N_{10}=1)q=0.2e^{-0.2}\cdot0.095=0.015555\ldots$$

よって

$$\boxed{0.0156}$$

である。

5.

一つの読み方として、「10日間に1回以上の集中豪雨が起きた」という条件の下で停電確率を $q$ とするなら、

$$P(N_{10}\ge1)q=(1-e^{-0.2})\cdot0.095=0.017220\ldots$$

したがって

$$\boxed{0.0172}$$

である。

ただし、本文は複数回の豪雨があった場合の停電の扱いを明記していない。もし各豪雨が独立に確率 $q$ で停電を起こし、「期間中に一度でも停電する確率」を問うなら、停電を伴う豪雨は率 $0.02q$ の薄化Poisson過程となる。この解釈では

$$P(\text{10日間に1回以上停電})=1-e^{-0.2q}=1-e^{-0.019}=0.018820\ldots,$$

すなわち $\boxed{0.0188}$ である。両値のどちらかを一意に選ぶために不足しているのは、複数回発生時の停電事象を独立な「少なくとも1回」と扱うかどうかの指定である。