東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 午後 問題B [問題2]

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Inner-Product-and-Orthogonality
• Basis-and-Dimension

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

ベクトル $\boldsymbol{a}$ と $\boldsymbol{b}$ の内積を， $\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$ で表す．2 つの 2 次元ベクトル $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ を，

$$\boldsymbol{a}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{a}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$

で定義する．このとき，線型空間の基底に関する次の問いに答えよ．なお，導出の過程を示すこと．

1. $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ が 1 次独立であることを証明せよ．

2. ベクトル $\boldsymbol{c}$ を，

$$\boldsymbol{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$

とおく． $\alpha_1\boldsymbol{a}_1 + \alpha_2\boldsymbol{a}_2 = \boldsymbol{c}$ を満足する実数 $\alpha_1, \alpha_2$ を求めよ．

3. $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2$ から，グラム・シュミットの直交化法を使って，正規直交基底を 1 組求めよ．

4. 任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ に対して，

$$\boldsymbol{x} = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{b}_1 \rangle \boldsymbol{a}_1 + \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{b}_2 \rangle \boldsymbol{a}_2$$

が成立するベクトル $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2$ を求めよ．

5. 4. の考え方を一般化する．1 以上の整数 $N$ に対して， $N$ 次元実ベクトル空間 $\mathbb{R}^N$ を考える． $\mathbb{R}^N$ の $N$ 個の 1 次独立なベクトルの組 $\{\boldsymbol{d}_i\}_{i=1}^N$ が与えられているとき， $\mathbb{R}^N$ の任意のベクトル $\boldsymbol{y}$ に対して，

$$\boldsymbol{y} = \sum_{i=1}^N \langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{f}_i \rangle \boldsymbol{d}_i$$

が成立するような， $\mathbb{R}^N$ の $N$ 個のベクトルの組 $\{\boldsymbol{f}_i\}_{i=1}^N$ を求める方法を述べよ．このとき， $i$ 列目の列ベクトルが $\boldsymbol{d}_i$ である $N$ 次正方行列 $D$ を使って答えよ．

题目描述

以 $\langle\boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle$ 表示向量 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 的内积，并定义两个二维向量

$$\boldsymbol a_1=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol a_2=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.$$

回答下列关于线性空间基的问题，并写出推导过程。

1. 证明 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ 线性无关。

2. 给定

   $$\boldsymbol c=\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix},$$

   求满足

   $$\alpha_1\boldsymbol a_1+\alpha_2\boldsymbol a_2=\boldsymbol c$$

   的实数 $\alpha_1,\alpha_2$。

3. 从 $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ 出发，使用 Gram–Schmidt 正交化法求一组标准正交基。

4. 求向量 $\boldsymbol b_1,\boldsymbol b_2$，使任意二维向量 $\boldsymbol x$ 都满足

   $$\boldsymbol x =\langle\boldsymbol x,\boldsymbol b_1\rangle\boldsymbol a_1 +\langle\boldsymbol x,\boldsymbol b_2\rangle\boldsymbol a_2.$$

5. 将第 4 问推广到一般情形。设 $N\geq1$，给定 $\mathbb R^N$ 中 $N$ 个线性无关向量 $\{\boldsymbol d_i\}_{i=1}^N$。说明如何求出 $N$ 个向量 $\{\boldsymbol f_i\}_{i=1}^N$，使任意 $\boldsymbol y\in\mathbb R^N$ 均有

   $$\boldsymbol y =\sum_{i=1}^{N} \langle\boldsymbol y,\boldsymbol f_i\rangle\boldsymbol d_i.$$

   回答时须使用 $N$ 阶方阵 $D$，其中第 $i$ 列就是 $\boldsymbol d_i$。

Kai

1.

$\alpha_1\boldsymbol a_1+\alpha_2\boldsymbol a_2=0$ とすると

$$\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha_1\\\alpha_2\end{pmatrix}=0.$$

係数行列の行列式は $3-4=-1\ne0$ であるから、解は $\alpha_1=\alpha_2=0$ のみである。したがって $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2$ は一次独立である。

2.

成分を比較すると

$$\alpha_1+2\alpha_2=4,\qquad 2\alpha_1+3\alpha_2=-1.$$

これを解いて

$$\boxed{\alpha_1=-14,\qquad \alpha_2=9}$$

を得る。実際、 $-14(1,2)^T+9(2,3)^T=(4,-1)^T$ である。

3.

まず

$$\boldsymbol e_1=\frac{\boldsymbol a_1}{\|\boldsymbol a_1\|} =\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}.$$

次の直交ベクトルは

$$\boldsymbol u_2 =\boldsymbol a_2-\langle\boldsymbol a_2,\boldsymbol e_1\rangle\boldsymbol e_1 =\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}-\frac85\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} =\frac15\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}.$$

これを正規化すれば

$$\boxed{ \boldsymbol e_1=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol e_2=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$$

となる。両者のノルムは1、内積は0である。

4.

$A=(\boldsymbol a_1\ \boldsymbol a_2)$ とすると

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}.$$

展開係数は $A^{-1}\boldsymbol x$ なので、その第 $i$ 成分を $\langle\boldsymbol x,\boldsymbol b_i\rangle$ と一致させればよい。したがって

$$\boxed{ \boldsymbol b_1=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b_2=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$$

である。実際、 $\langle\boldsymbol a_j,\boldsymbol b_i\rangle=\delta_{ij}$ となるため、任意の $\boldsymbol x$ に対して所定の展開が成立する。

5.

$D=(\boldsymbol d_1\ \cdots\ \boldsymbol d_N)$ とする。 $\boldsymbol d_i$ は一次独立なので $D$ は可逆である。 $F=(\boldsymbol f_1\ \cdots\ \boldsymbol f_N)$ を

$$\boxed{F=D^{-T}=(D^{-1})^T}$$

と定めればよい。このとき

$$F^TD=D^{-1}D=I,\qquad \langle\boldsymbol d_j,\boldsymbol f_i\rangle=\delta_{ij}.$$

任意の $\boldsymbol y$ の $\{\boldsymbol d_i\}$ に関する係数ベクトルは $D^{-1}\boldsymbol y=F^T\boldsymbol y$ であり、その第 $i$ 成分は $\langle\boldsymbol y,\boldsymbol f_i\rangle$ である。ゆえに

$$\boldsymbol y=D F^T\boldsymbol y =\sum_{i=1}^N\langle\boldsymbol y,\boldsymbol f_i\rangle\boldsymbol d_i$$

が成立する。