東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2018年8月実施 午後 問題B [問題1]

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思齐塾, 祭音Myyura

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日本語

1.

以下の常微分方程式の厳密解を求めよ．虚数を使わずに表すこと．

(1) $f''(t) - f'(t) - 20f(t) = 0, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 3$

(2) $f''(t) - 6f'(t) + 9f(t) = e^{3t}, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 1$

(3) $f''(t) + 9f(t) = \cos t, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 3$

2.

両端固定、長さ $l$ の弦を考える．弦は外力のない平衡状態で $x$ 軸に平行であるとし、弦の一端を $x$ 軸の原点に取る．弦の運動は平面内で起こり、各点は $x$ 軸に対し垂直に動く微小横振動とする．時刻 $t$ 、点 $x$ における弦の垂直方向の変位を $u(x, t)$ とし、弦の運動は次の二階偏微分方程式に従うとする．境界条件は、両端固定のため $u(0, t) = 0, u(l, t) = 0$ とする．

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$$

(1) $u(x, t) = X(x)T(t)$ と置き、変数分離を用いて、上記偏微分方程式を 2 つの常微分方程式に変換せよ．

(2) $t = 0$ のとき、弦の変位がない ( $u(x, 0) = 0$ ) とする． $t = 0$ で弦に

$$\left. \frac{\partial u}{\partial t} \right|_{t=0} = \sin^3 \frac{\pi x}{l}$$

の初期速度が与えられたとし、 $u(x, t)$ を求めよ．

中文

1.

求下列三个常微分方程初值问题的精确解，答案不得使用虚数：

1. 求解初值问题：

   $$f''(t)-f'(t)-20f(t)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=3.$$

2. 求解初值问题：

   $$f''(t)-6f'(t)+9f(t)=e^{3t},\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=1.$$

3. 求解初值问题：

   $$f''(t)+9f(t)=\cos t,\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=3.$$

2.

考虑一根长度为 $l$、两端固定的弦。弦在无外力的平衡状态下与 $x$ 轴平行，一端位于 $x$ 轴原点；其运动限于一个平面内，并作各点均垂直于 $x$ 轴的微小横向振动。以 $u(x,t)$ 表示时刻 $t$ 弦上位置 $x$ 的垂直位移，弦满足波动方程

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0$$

和固定端边界条件

$$u(0,t)=0,\qquad u(l,t)=0.$$

回答下列问题。

1. 令

   $$u(x,t)=X(x)T(t),$$

   用分离变量法把上述偏微分方程化为两个常微分方程，并结合固定端条件说明空间因子所满足的边界条件。

2. 已知初始时刻弦没有位移，

   $$u(x,0)=0,$$

   且初速度为

   $$\left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{t=0} =\sin^3\frac{\pi x}{l}.$$

   求满足方程、边界条件和这两个初始条件的 $u(x,t)$。

Kai

1.

(1)

特性方程式は

$$r^2-r-20=(r-5)(r+4)=0$$

なので、 $f=C_1e^{5t}+C_2e^{-4t}$ である。初期条件より

$$C_1+C_2=1,\qquad 5C_1-4C_2=3.$$

これを解くと $C_1=7/9,\ C_2=2/9$ だから、

$$\boxed{f(t)=\frac79e^{5t}+\frac29e^{-4t}}$$

である。

(2)

左辺の微分演算子は $(D-3)^2$ である。 $f=e^{3t}g(t)$ とおくと

$$(D-3)^2f=e^{3t}g''=e^{3t}$$

より $g''=1$ 、したがって $g=t^2/2+C_1t+C_2$ である。 $f(0)=0$ より $C_2=0$ 、また

$$f'=e^{3t}(3g+g')$$

なので $f'(0)=C_1=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=e^{3t}\left(t+\frac{t^2}{2}\right)}$$

となる。

(3)

同次解は $C_1\cos3t+C_2\sin3t$ である。 $\cos t$ は共振しないので、特解を $A\cos t$ とおけば

$$(A\cos t)''+9A\cos t=8A\cos t,$$

ゆえに $A=1/8$ である。したがって

$$f=C_1\cos3t+C_2\sin3t+\frac18\cos t.$$

$f(0)=0$ より $C_1=-1/8$ 、 $f'(0)=3$ より $3C_2=3$ 、すなわち $C_2=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=\sin3t+\frac18\bigl(\cos t-\cos3t\bigr)}$$

である。以上の各式は実数だけで表され、直接代入により微分方程式と初期条件を満たすことが確認できる。

2.

(1)

$u(x,t)=X(x)T(t)$ を代入すると

$$XT''-X''T=0,\qquad \frac{T''}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda$$

となる。したがって、求める2つの常微分方程式は

$$\boxed{X''+\lambda X=0,\qquad T''+\lambda T=0}$$

であり、固定端条件は $X(0)=X(l)=0$ となる。非自明な固有関数は

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{l}\quad(n=1,2,\ldots)$$

である。

(2)

$\omega_n=n\pi/l$ とおくと、固定端条件を満たす一般解は

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos\omega_nt+B_n\sin\omega_nt\right)\sin\frac{n\pi x}{l}.$$

初期変位 $u(x,0)=0$ より $A_n=0$ である。また三倍角公式から

$$\sin^3\theta=\frac{3\sin\theta-\sin3\theta}{4}$$

なので、初期速度は

$$u_t(x,0)=\frac34\sin\frac{\pi x}{l}-\frac14\sin\frac{3\pi x}{l}.$$

一方、級数解から

$$u_t(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\omega_n\sin\frac{n\pi x}{l}$$

である。係数比較により

$$B_1\frac{\pi}{l}=\frac34,\qquad B_3\frac{3\pi}{l}=-\frac14$$

だから、 $B_1=3l/(4\pi),\ B_3=-l/(12\pi)$ 、その他は0である。よって

$$\boxed{ u(x,t)=\frac{3l}{4\pi}\sin\frac{\pi t}{l}\sin\frac{\pi x}{l} -\frac{l}{12\pi}\sin\frac{3\pi t}{l}\sin\frac{3\pi x}{l}}$$

である。 $t=0$ では変位が0であり、 $t$ で微分して $t=0$ とすれば所定の $\sin^3(\pi x/l)$ が得られる。

図1-1：原問題の弦と座標軸の図（PDF p.16）。