東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2017年8月実施 午後 問題B [問題3]

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

日本語

ある道路舗装の 1 km あたりの修繕間隔（修繕が必要となるまでの期間）が，平均値 2.8 年，変動係数 0.4 の正規分布で近似できるとする．異なる 1 km 区間の修繕間隔は互いに独立と仮定する．以下の問いに答えよ．必要に応じて表 3-1 を使用してよい．

1. 1 年以内に，1 km 区間で修繕を必要とする確率を求めよ．

2. 1 年以内に，3 km 区間で修繕を必要としない確率を求めよ．

3. 1 年以内に，3 km 区間のうち 2 つの 1 km 区間で修繕を必要とする確率を求めよ．

4. ある 1 km 区間で修繕が必要となる確率が 10% となるとき，その区間の修繕間隔を求めよ．

5. 新たな舗装技術を試験導入した道路 25 km の修繕間隔を計測した結果，平均値 3.2 年，標準偏差 1.2 年の正規分布に近似できる結果を得た．このとき，新舗装技術によって修繕間隔が変化したかどうか，帰無仮説と対立仮説を設定し，5% の有意水準で両側検定せよ．

English

The useful life per kilometer of a paved road as the usable time to require repair is approximately described as a normal distribution with a mean of 2.8 years and COV (Coefficient of Variation) of 40%. Assume that the lives among any different one kilometers are statistically independent. Answer the following questions. You can refer to Table 3-1 if needed.

1. What is the probability that one kilometer of paved road will require repair in one year?

2. What is the probability that there will be no repairs required in the first year of a 3-kilometer stretch of paved road?

3. What is the probability that 2 of the 3-kilometer stretch will need repairs in the first year?

4. If 10% is the probability that one kilometer of paved road will require repair, what is the useful life of the road?

5. New pavement materials are introduced in a 25 kilometer section of the paved road as a test. The result of useful life on the road is a mean of 3.2 years and a standard deviation of 1.2 years as a normal distribution. Define the null hypothesis and the alternative hypothesis whether new pavement materials can change the useful life, and perform a two-sided hypothesis test at the 5% significance level.

中文

把某种道路铺装每一公里从投入使用到需要维修的时间称为该公里路段的维修间隔。其分布可近似为均值 $2.8$ 年、变异系数 $0.4$ 的正态分布；不同的一公里路段之间相互独立。必要时可使用题面所指的表 3-1。回答下列问题。

1. 求一公里路段在一年内需要维修的概率。

2. 求一段三公里道路在一年内三个一公里路段均不需要维修的概率。

3. 求上述三公里道路中恰有两个一公里路段在一年内需要维修的概率。

4. 求使一公里路段在该期限内需要维修的概率为 $10\%$ 时所对应的维修间隔，即该寿命分布的第 $10$ 百分位数。

5. 在一段 $25$ 公里的道路上试用新的铺装技术，测得维修间隔可近似为均值 $3.2$ 年、标准差 $1.2$ 年的正态分布。为判断新技术是否改变维修间隔，写出原假设与备择假设，并在 $5\%$ 显著性水平下进行双侧检验。

表 3-1 见官方试卷第 18 页。

Kai

修繕間隔を $T$ とする。変動係数は $\sigma/\mu$ なので

$$\mu=2.8,\quad \sigma=0.4\times2.8=1.12,$$

すなわち $T\sim N(2.8,1.12^2)$ である。標準正規分布関数を $\Phi$ と書く。

1.

$$p=P(T\le1)=\Phi\left(\frac{1-2.8}{1.12}\right)=\Phi(-1.60714\ldots)=0.0540115\ldots$$

従って $\boxed{p\simeq0.0540\ (5.40\%)}$ である。

2.

独立性より、3区間すべてが1年以内に修繕を必要としない確率は

$$(1-p)^3=(0.945988\ldots)^3=\boxed{0.84656\ldots\simeq0.847}.$$

3.

修繕を必要とする区間数は $\operatorname{Bin}(3,p)$ に従う。ちょうど2区間で必要となる確率は

$$\binom32p^2(1-p)=3(0.0540115\ldots)^2(0.945988\ldots)=\boxed{0.0082790\ldots\simeq0.00828}.$$

4.

$P(T\le t_{0.1})=0.10$ とすると、 $\Phi^{-1}(0.10)=-1.2815516\ldots$ より

$$t_{0.1}=2.8+1.12\Phi^{-1}(0.10)=1.364662\ldots.$$

従って $\boxed{t_{0.1}\simeq1.36\ \text{年}}$ である。

5.

新舗装の母平均を $\mu_{\mathrm{new}}$ とし、1.2年を25区間の標本標準偏差と解釈する。仮説は

$$\begin{aligned} H_0&:\mu_{\mathrm{new}}=2.8,\\ H_1&:\mu_{\mathrm{new}}\ne2.8 \end{aligned}$$

である。母分散未知の正規母集団に対する1標本 $t$ 統計量は

$$t=\frac{3.2-2.8}{1.2/\sqrt{25}}=1.6667,$$

帰無仮説の下で自由度24の $t$ 分布に従う。5%両側検定の臨界値は $t_{0.975,24}=2.0639$ で、 $|t|=1.6667<2.0639$ である。両側 $p$ 値も約0.1086である。従って

$$\boxed{H_0\text{ は棄却できない。}}$$

この標本だけから新舗装によって平均修繕間隔が変化したとは5%水準で結論できない。