東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2017年8月実施 午後 問題B [問題2]

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• 东京科学大学
• 特征值与特征向量
• 正交矩阵
• 内积与正交性
• 行列式

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

日本語

行列 $A$ に対する転置行列を $A^T$ で，行列式を $|A|$ で表し，単位行列を $I$ で表す．このとき，行列式に関する次の問いに答えよ．なお，導出の過程を示すこと．

1. 次の 3 つの行列式の値をそれぞれ求めよ．

   (a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ (c) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

2. $U$ を直交行列とする．すなわち， $UU^T = U^TU = I$ が成立する．このとき， $U$ の行列式の値になりうるものをすべて求めよ．さらに，それらの値をもつ行列の例を，それぞれ一つ示せ．

3. 自然数 $N$ に対して， $A$ を $N$ 次実対称行列とし，その固有値を $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N$ とする．このとき， $|A|$ を求めよ．

4. ある行列の異なる 2 列を入れ替えると，その行列式の値は，もとの行列式の値の $-1$ 倍になる．この性質を使って，ある行列の異なる 2 列が列ベクトルとして等しいならば，その行列式の値が 0 になることを証明せよ．

5. 次の連立 1 次方程式の解をクラメルの公式を使って求めよ．

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x - y + z = -2 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{cases}$$

English

The transposition and the determinant of a matrix $A$ are denoted by $A^T$ and $|A|$ , respectively. The identity matrix is denoted by $I$ . Answer the following questions. Note that the derivation process has to be explained.

1. Answer the values of the following three determinants:

   (a) $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & -1 \end{vmatrix}$ (b) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ (c) $\begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

2. Let $U$ be an orthogonal matrix. That is, we have $UU^T = U^TU = I$ . Answer all possible values of determinants of $U$ . Furthermore, for each of their values, show an example of $U$ .

3. For a natural number $N$ , let $A$ be a real symmetric matrix of order $N$ . Its eigenvalues are denoted by $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N$ . Then, give $|A|$ .

4. If we exchange column vectors of two different columns in a matrix, the value of its determinant is given by multiplying $-1$ to the determinant of the original matrix. By using this property, show that the value of determinant of a matrix is 0 if column vectors of two different columns in the matrix are the same as the vectors.

5. Solve the following simultaneous linear equations by using Cramer's rule.

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x - y + z = -2 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{cases}$$

中文

以 $A^T$ 表示矩阵 $A$ 的转置，以 $|A|$ 表示其行列式，以 $I$ 表示单位矩阵。回答下列问题，并说明推导过程。

1. 分别计算以下三个行列式：

   a.

   $$\begin{vmatrix}2&4\\3&-1\end{vmatrix}.$$

   b.

   $$\begin{vmatrix} 2&4&-2\\ 3&-1&1\\ 1&2&1 \end{vmatrix}.$$

   c.

   $$\begin{vmatrix} 2&4&-2&3\\ 3&-1&1&1\\ 1&2&1&2\\ 3&1&-1&1 \end{vmatrix}.$$

2. 设 $U$ 为正交矩阵，即

   $$UU^T=U^TU=I.$$

   求 $|U|$ 的全部可能取值，并为每个可能值各给出一个相应的正交矩阵示例。

3. 对自然数 $N$，设 $A$ 是 $N$ 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_N$。用这些特征值表示 $|A|$。

4. 已知交换矩阵中两个不同的列向量会使行列式变为原来的 $-1$ 倍。利用这一性质证明：若矩阵中两个不同的列向量相同，则该矩阵的行列式为 $0$。

5. 使用克拉默法则求解方程组

   $$\begin{cases} x+2y+3z=1,\\ 2x-y+z=-2,\\ 2x+y+2z=2. \end{cases}$$

Kai

1.

(a)

$$\begin{vmatrix}2&4\\3&-1\end{vmatrix}=2(-1)-4\cdot3=\boxed{-14}.$$

(b)

第1行で展開すると

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix}2&4&-2\\3&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix} &=2\{(-1)\cdot1-1\cdot2\} -4(3\cdot1-1\cdot1)\\ &\quad+(-2)\{3\cdot2-(-1)\cdot1\}\\ &=-6-8-14=\boxed{-28}. \end{aligned}$$

(c)

第2行から第4行を引いても行列式は変わらない。この操作後の第2行は $(0,-2,2,0)$ となるので、この行で展開する。対応する2つの小行列式は

$$\begin{vmatrix}2&-2&3\\1&1&2\\3&-1&1\end{vmatrix}=-16,\qquad \begin{vmatrix}2&4&3\\1&2&2\\3&1&1\end{vmatrix}=5.$$

したがって

$$\begin{vmatrix}2&4&-2&3\\3&-1&1&1\\1&2&1&2\\3&1&-1&1\end{vmatrix} =(-2)(-16)-2(5)=\boxed{22}.$$

2.

$U$ が直交行列なら

$$1=\det I=\det(UU^T)=\det U\det U^T=(\det U)^2.$$

したがって可能な値は

$$\boxed{\det U=1\quad\text{または}\quad-1}$$

である。 $N$ 次の場合、 $\det U=1$ の例は $U=I_N$ 、 $\det U=-1$ の例は

$$U=\operatorname{diag}(-1,1,\ldots,1)$$

であり、いずれも直交行列である。

3.

実対称行列には直交行列 $Q$ が存在して

$$A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_N)Q^T$$

と対角化できる。よって

$$\boxed{\det A=\prod_{i=1}^N\lambda_i}$$

である。実際、 $\det Q\det Q^T=(\det Q)^2=1$ なので余分な因子は生じない。

4.

2本の同じ列を持つ行列の行列式を $D$ とする。その2列を交換しても行列自体は変わらないので、交換後の行列式も $D$ である。一方、列交換の性質によれば交換後の行列式は $-D$ である。したがって

$$D=-D\quad\Longrightarrow\quad 2D=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D=0}.$$

5.

係数行列と右辺を

$$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&-1&1\\2&1&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}$$

とおく。直接計算すると

$$\det A=5.$$

各未知数の列を $\boldsymbol b$ で置き換えた行列式は

$$D_x=\begin{vmatrix}1&2&3\\-2&-1&1\\2&1&2\end{vmatrix}=9,$$

$$D_y=\begin{vmatrix}1&1&3\\2&-2&1\\2&2&2\end{vmatrix}=16,$$

$$D_z=\begin{vmatrix}1&2&1\\2&-1&-2\\2&1&2\end{vmatrix}=-12.$$

Cramerの公式より

$$\boxed{x=\frac95,\qquad y=\frac{16}{5},\qquad z=-\frac{12}{5}}.$$

これらを元の3式に代入すると、それぞれ右辺 $1,-2,2$ が得られる。