東京工業大学 環境・社会理工学院 融合理工学系 2017年8月実施 午後 問題B [問題1]

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

日本語

1.

以下の常微分方程式の厳密解を求めよ．虚数を使わずに表すこと．

(1) $f''(t) - f'(t) - 6f(t) = 0, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 2$

(2) $f''(t) - 4f'(t) + 4f(t) = e^{2t}, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 3$

(3) $f''(t) + 9f(t) = 6 \cos 3t, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 3$

2.

楕円体曲面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a > b > c > 0)$ と，それに全ての頂点が内接する直方体を考える．以下の問いに答えよ．

(1) 楕円体の体積 $V_e$ を求めよ．

(2) 直方体の頂点のうち，第一象限におけるものを $(x, y, z)$ とする場合，直方体の体積 $V_c$ を表現せよ．

(3) (2) の最大値を求めるために，ラグランジュの未定乗数 $\lambda$ を導入し，下記によって条件付き極値問題を解くための関数 $f(x, y, z, \lambda)$ を求めよ．

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial \lambda} = 0$$

(4) (3) における方程式を解き，直方体の体積の最大値 $V_{c\text{max}}$ を求めよ．

(5) 楕円体の体積に対する直方体の体積の比 $\frac{V_{c\text{max}}}{V_e}$ の値を有効数字 3 桁で求めよ．

English

1.

Solve the following equations using real numbers.

(1) $f''(t) - f'(t) - 6f(t) = 0, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 2$

(2) $f''(t) - 4f'(t) + 4f(t) = e^{2t}, \quad f(0) = 0, \quad f'(0) = 3$

(3) $f''(t) + 9f(t) = 6 \cos 3t, \quad f(0) = 1, \quad f'(0) = 3$

2.

Consider the curved surface of an ellipsoidal body $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \quad (a > b > c > 0)$ to which the cuboid is inscribed with all vertexes. Answer the following questions.

(1) Obtain the volume of the ellipsoidal body $V_e$ .

(2) Find the volume of the cuboid $V_c$ for the case that a vertex in the first octant is denoted by $(x, y, z)$ .

(3) In order to obtain the maximum value of (2), by introducing Lagrange's undetermined multiplier $\lambda$ , obtain the function $f(x, y, z, \lambda)$ for solving the conditional extreme value problem by the following equations.

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial \lambda} = 0.$$

(4) By solving the equations in (3), obtain the maximum volume of the cuboid $V_{c\text{max}}$ .

(5) Compute the maximum volume ratio of the cuboid to the ellipsoidal body $\frac{V_{c\text{max}}}{V_e}$ with 3 significant figures.

中文

1.

求下列三个常微分方程初值问题的精确解，答案不得使用虚数：

1. 求解初值问题：

   $$f''(t)-f'(t)-6f(t)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=2.$$

2. 求解初值问题：

   $$f''(t)-4f'(t)+4f(t)=e^{2t},\qquad f(0)=0,\qquad f'(0)=3.$$

3. 求解初值问题：

   $$f''(t)+9f(t)=6\cos 3t,\qquad f(0)=1,\qquad f'(0)=3.$$

2.

考虑椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1, \qquad a>b>c>0,$$

以及一个所有顶点均位于该椭球面上的内接长方体。回答下列问题。

1. 求椭球体的体积 $V_e$。

2. 若长方体位于第一卦限的一个顶点为 $(x,y,z)$，用 $x,y,z$ 表示长方体的体积 $V_c$。

3. 为求第 2 问所得体积的最大值，引入拉格朗日乘数 $\lambda$，写出用于求解该约束极值问题的函数 $f(x,y,z,\lambda)$，使候选极值由

   $$\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{\partial f}{\partial\lambda} =0$$

   确定。

4. 解第 3 问得到的方程组，求长方体体积的最大值 $V_{c\mathrm{max}}$。

5. 计算最大长方体体积与椭球体体积之比

   $$\frac{V_{c\mathrm{max}}}{V_e},$$

   结果保留三位有效数字。

Kai

1.

(1)

特性方程式は

$$r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0$$

なので、 $f=C_1e^{3t}+C_2e^{-2t}$ である。初期条件は

$$C_1+C_2=1,\qquad 3C_1-2C_2=2$$

を与える。したがって $C_1=4/5,\ C_2=1/5$ であり、

$$\boxed{f(t)=\frac45e^{3t}+\frac15e^{-2t}}$$

である。

(2)

左辺は $(D-2)^2f$ である。 $f=e^{2t}g(t)$ とおけば

$$(D-2)^2f=e^{2t}g''=e^{2t},$$

したがって $g''=1$ である。よって $g=t^2/2+C_1t+C_2$ である。 $f(0)=0$ より $C_2=0$ 、また $f'=e^{2t}(2g+g')$ と $f'(0)=3$ より $C_1=3$ である。ゆえに

$$\boxed{f(t)=e^{2t}\left(3t+\frac{t^2}{2}\right)}$$

となる。

(3)

同次解は $C_1\cos3t+C_2\sin3t$ である。右辺が固有振動数と共振するため、特解を $f_p=At\sin3t$ とおく。このとき

$$f_p''+9f_p=6A\cos3t$$

なので $A=1$ である。したがって

$$f=C_1\cos3t+C_2\sin3t+t\sin3t.$$

$f(0)=1$ より $C_1=1$ 、 $f'(0)=3$ より $3C_2=3$ 、すなわち $C_2=1$ である。よって

$$\boxed{f(t)=\cos3t+\sin3t+t\sin3t}$$

である。各結果は実数だけで表され、直接微分して代入すると方程式と初期条件の双方を満たす。

2.

(1)

変数変換

$$x=aX,\qquad y=bY,\qquad z=cZ$$

によって楕円体は単位球 $X^2+Y^2+Z^2\le1$ に移り、Jacobianは $abc$ である。したがって

$$\boxed{V_e=abc\cdot\frac{4\pi}{3}=\frac{4\pi abc}{3}}$$

である。

(2)

第1八分象限の頂点が $(x,y,z)$ なら、座標面について対称な直方体の各辺は $2x,2y,2z$ である。よって

$$\boxed{V_c=(2x)(2y)(2z)=8xyz}$$

であり、制約は

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\qquad x,y,z>0$$

である。

(3)

例えばLagrange関数を

$$\boxed{f(x,y,z,\lambda)=8xyz-\lambda\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)}$$

と取ればよい。停留条件は

$$\begin{aligned} 8yz-\frac{2\lambda x}{a^2}&=0,\\ 8xz-\frac{2\lambda y}{b^2}&=0,\\ 8xy-\frac{2\lambda z}{c^2}&=0,\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1&=0. \end{aligned}$$

(4)

最初の3式にそれぞれ $x,y,z$ を掛けると、左辺の体積項はいずれも $8xyz$ となる。したがって

$$\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}.$$

制約式と $x,y,z>0$ から

$$x=\frac{a}{\sqrt3},\qquad y=\frac{b}{\sqrt3},\qquad z=\frac{c}{\sqrt3}.$$

境界では $xyz=0$ となる一方、この点では正の体積を持つので、これが大域的最大点である。ゆえに

$$\boxed{V_{c\max}=8\frac{a}{\sqrt3}\frac{b}{\sqrt3}\frac{c}{\sqrt3}=\frac{8abc}{3\sqrt3}}$$

である。

(5)

$$\frac{V_{c\max}}{V_e} =\frac{8abc/(3\sqrt3)}{4\pi abc/3} =\frac{2}{\pi\sqrt3} =0.367552\ldots$$

したがって3桁の有効数字で

$$\boxed{\frac{V_{c\max}}{V_e}=0.368}$$

である。