東京工業大学 環境・社会理工学院 土木・環境工学系 2022年8月実施 基礎科目4 Author Miyake , 祭音Myyura
Description ある確率変数 X X X ln X \ln X ln X λ \lambda λ ζ \zeta ζ ζ > 0 \zeta>0 ζ > 0 X X X
なお、任意の確率変数 Y Y Y λ \lambda λ ζ \zeta ζ Y Y Y
f Y ( y ) = 1 2 π ζ exp [ − 1 2 ( y − λ ) 2 ζ 2 ] (1) f_Y(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta}\exp\left[-\frac12\frac{(y-\lambda)^2}{\zeta^2}\right]\tag{1} f Y ( y ) = 2 π ζ 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] ( 1 ) によって表わされ、f Y ( y ) f_Y(y) f Y ( y )
∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ζ exp [ − 1 2 ( y − λ ) 2 ζ 2 ] d y = 1 (2) \begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)\,dy
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta}
\exp\left[-\frac12\frac{(y-\lambda)^2}{\zeta^2}\right]dy\\
&=1
\end{aligned}\tag{2} ∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ 2 π ζ 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] d y = 1 ( 2 ) を用いてよい。
(1) 確率変数 Y Y Y Y = ln X Y=\ln X Y = ln X X X X
f X ( x ) = 1 2 π ζ x exp [ − 1 2 ( ln x − λ ) 2 ζ 2 ] (3) f_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta x}\exp\left[-\frac12\frac{(\ln x-\lambda)^2}{\zeta^2}\right]\tag{3} f X ( x ) = 2 π ζ x 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( ln x − λ ) 2 ] ( 3 ) と表わされることを示せ。
(2) 任意の確率変数 Z Z Z f Z ( z ) f_Z(z) f Z ( z ) Z Z Z g ( Z ) g(Z) g ( Z ) E [ g ( Z ) ] E[g(Z)] E [ g ( Z )]
E [ g ( Z ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( z ) f Z ( z ) d z (4) E[g(Z)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(z)f_Z(z)\,dz\tag{4} E [ g ( Z )] = ∫ − ∞ ∞ g ( z ) f Z ( z ) d z ( 4 ) によって求められる。E [ X ] E[X] E [ X ] E [ X 2 ] E[X^2] E [ X 2 ] X X X μ X \mu_X μ X σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2
μ X = exp [ λ + ζ 2 / 2 ] , σ X 2 = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] (5) \begin{aligned}
\mu_X&=\exp[\lambda+\zeta^2/2],\\
\sigma_X^2&=(e^{\zeta^2}-1)\exp[2\lambda+\zeta^2]
\end{aligned}\tag{5} μ X σ X 2 = exp [ λ + ζ 2 /2 ] , = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] ( 5 ) (3) 母集団から得られた実現値（標本値）を用いて母数（母集団の確率分布特性を規定するパラメータ）を推定する方法の一つに最尤法がある。
ある確率変数 Z Z Z m m m θ i ( i = 1 , … , m ) \theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ i ( i = 1 , … , m ) f Z ( z ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) f_Z(z;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m) f Z ( z ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) Z Z Z n n n z j ( j = 1 , … , n ) z_j\ (j=1,\ldots,n) z j ( j = 1 , … , n ) m m m z j ( j = 1 , … , n ) z_j\ (j=1,\ldots,n) z j ( j = 1 , … , n ) θ i ( i = 1 , … , m ) \theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ i ( i = 1 , … , m ) θ i ( i = 1 , … , m ) \theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ i ( i = 1 , … , m )
特定の実現値 z j z_j z j z j z_j z j n n n z j ( j = 1 , … , n ) z_j\ (j=1,\ldots,n) z j ( j = 1 , … , n )
L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = ∏ j = 1 n f Z ( z j ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) (6) \begin{aligned}
&L(z_1,z_2,\ldots,z_n;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)\\
&\qquad=\prod_{j=1}^n f_Z(z_j;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)
\end{aligned}\tag{6} L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = j = 1 ∏ n f Z ( z j ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) ( 6 ) と表わされ、この関数を尤度関数と呼ぶ。
以上より、尤度関数を最大にするような θ i ( i = 1 , … , m ) \theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ i ( i = 1 , … , m ) θ ^ i ( i = 1 , … , m ) \hat\theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ ^ i ( i = 1 , … , m ) m m m
∂ L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) ∂ θ j = 0 ( j = 1 , … , m ) (7) \frac{\partial L(z_1,z_2,\ldots,z_n;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)}{\partial\theta_j}=0
\quad(j=1,\ldots,m)\tag{7} ∂ θ j ∂ L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = 0 ( j = 1 , … , m ) ( 7 ) 上記のことを参考にして以下の問いに答えよ。
(a) 対数正規分布に従う確率変数 X X X n n n x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\ldots,x_n x 1 , x 2 , … , x n λ \lambda λ ζ \zeta ζ L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ ) L(x_1,x_2,\ldots,x_n;\lambda,\zeta) L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ )
(b) 尤度関数の対数、すなわち ln L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ ) \ln L(x_1,x_2,\ldots,x_n;\lambda,\zeta) ln L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ ) λ ^ , ζ ^ \hat\lambda,\hat\zeta λ ^ , ζ ^
λ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ln x j , ζ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ^ ) 2 (8) \begin{aligned}
\hat\lambda&=\frac1n\sum_{j=1}^n\ln x_j,\\
\hat\zeta&=\sqrt{\frac1n\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\hat\lambda)^2}
\end{aligned}\tag{8} λ ^ ζ ^ = n 1 j = 1 ∑ n ln x j , = n 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ^ ) 2 ( 8 ) (c) ある供試体に繰り返し載荷を行って、その供試体が破壊するまでの載荷回数を測定した。測定を3回繰り返して行ったところ、それぞれ、25回、20回、24回で破壊した。この供試体が破壊するまでの載荷回数は対数正規分布に従うものとし、最尤法によって2つの母数 λ \lambda λ ζ \zeta ζ λ ^ \hat\lambda λ ^ ζ ^ \hat\zeta ζ ^
なお、計算にあたっては ln 2 ≈ 0.7 \ln2\approx0.7 ln 2 ≈ 0.7 ln 3 ≈ 1.1 \ln3\approx1.1 ln 3 ≈ 1.1 ln 5 ≈ 1.6 \ln5\approx1.6 ln 5 ≈ 1.6
题目描述
若随机变量 X X X ln X \ln X ln X λ \lambda λ ζ > 0 \zeta>0 ζ > 0 X X X
可以使用以下事实：若随机变量 Y Y Y λ \lambda λ ζ \zeta ζ
f Y ( y ) = 1 2 π ζ exp [ − 1 2 ( y − λ ) 2 ζ 2 ] , f_Y(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta}\exp\left[-\frac12\frac{(y-\lambda)^2}{\zeta^2}\right], f Y ( y ) = 2 π ζ 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] , 且其图像下的面积为1，即
∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ 1 2 π ζ exp [ − 1 2 ( y − λ ) 2 ζ 2 ] d y = 1. \begin{aligned}
\int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)\,dy
&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta}
\exp\left[-\frac12\frac{(y-\lambda)^2}{\zeta^2}\right]dy\\
&=1.
\end{aligned} ∫ − ∞ ∞ f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ ∞ 2 π ζ 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] d y = 1. (1) 当 Y Y Y Y = ln X Y=\ln X Y = ln X X X X
f X ( x ) = 1 2 π ζ x exp [ − 1 2 ( ln x − λ ) 2 ζ 2 ] . f_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}\zeta x}\exp\left[-\frac12\frac{(\ln x-\lambda)^2}{\zeta^2}\right]. f X ( x ) = 2 π ζ x 1 exp [ − 2 1 ζ 2 ( ln x − λ ) 2 ] . (2) 若任意随机变量 Z Z Z f Z ( z ) f_Z(z) f Z ( z ) g ( Z ) g(Z) g ( Z )
E [ g ( Z ) ] = ∫ − ∞ ∞ g ( z ) f Z ( z ) d z . E[g(Z)]=\int_{-\infty}^{\infty}g(z)f_Z(z)\,dz. E [ g ( Z )] = ∫ − ∞ ∞ g ( z ) f Z ( z ) d z . 对 E [ X ] E[X] E [ X ] E [ X 2 ] E[X^2] E [ X 2 ] X X X μ X \mu_X μ X σ X 2 \sigma_X^2 σ X 2
μ X = exp [ λ + ζ 2 / 2 ] , σ X 2 = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] . \begin{aligned}
\mu_X&=\exp[\lambda+\zeta^2/2],\\
\sigma_X^2&=(e^{\zeta^2}-1)\exp[2\lambda+\zeta^2].
\end{aligned} μ X σ X 2 = exp [ λ + ζ 2 /2 ] , = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] . (3) 最大似然法是利用总体中取得的实现值（样本值）估计参数（规定总体概率分布特性的量）的一种方法。
设随机变量 Z Z Z m m m θ i ( i = 1 , … , m ) \theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ i ( i = 1 , … , m ) f Z ( z ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) f_Z(z;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m) f Z ( z ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) Z Z Z n n n z j ( j = 1 , … , n ) z_j\ (j=1,\ldots,n) z j ( j = 1 , … , n ) m m m
特定实现值 z j z_j z j n n n z j ( j = 1 , … , n ) z_j\ (j=1,\ldots,n) z j ( j = 1 , … , n )
L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = ∏ j = 1 n f Z ( z j ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) . \begin{aligned}
&L(z_1,z_2,\ldots,z_n;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)\\
&\qquad=\prod_{j=1}^nf_Z(z_j;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m).
\end{aligned} L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = j = 1 ∏ n f Z ( z j ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) . 该函数称为似然函数。因此，只需寻找使似然函数最大的参数值 θ ^ i ( i = 1 , … , m ) \hat\theta_i\ (i=1,\ldots,m) θ ^ i ( i = 1 , … , m ) m m m
∂ L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) ∂ θ j = 0 ( j = 1 , … , m ) . \frac{\partial L(z_1,z_2,\ldots,z_n;\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_m)}{\partial\theta_j}=0
\quad(j=1,\ldots,m). ∂ θ j ∂ L ( z 1 , z 2 , … , z n ; θ 1 , θ 2 , … , θ m ) = 0 ( j = 1 , … , m ) . 参考上述内容回答以下问题。
(a) 从服从对数正态分布的随机变量 X X X n n n x 1 , x 2 , … , x n x_1,x_2,\ldots,x_n x 1 , x 2 , … , x n λ , ζ \lambda,\zeta λ , ζ L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ ) L(x_1,x_2,\ldots,x_n;\lambda,\zeta) L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ )
(b) 证明使对数似然 ln L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ ) \ln L(x_1,x_2,\ldots,x_n;\lambda,\zeta) ln L ( x 1 , x 2 , … , x n ; λ , ζ )
λ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ln x j , ζ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ^ ) 2 . \begin{aligned}
\hat\lambda&=\frac1n\sum_{j=1}^n\ln x_j,\\
\hat\zeta&=\sqrt{\frac1n\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\hat\lambda)^2}.
\end{aligned} λ ^ ζ ^ = n 1 j = 1 ∑ n ln x j , = n 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ^ ) 2 . (c) 对试件进行反复加载，测量直到试件破坏的加载次数。重复测量3次，分别在25次、20次、24次时破坏。假定破坏前的加载次数服从对数正态分布，用最大似然法求参数 λ , ζ \lambda,\zeta λ , ζ λ ^ , ζ ^ \hat\lambda,\hat\zeta λ ^ , ζ ^
计算时取 ln 2 ≈ 0.7 \ln2\approx0.7 ln 2 ≈ 0.7 ln 3 ≈ 1.1 \ln3\approx1.1 ln 3 ≈ 1.1 ln 5 ≈ 1.6 \ln5\approx1.6 ln 5 ≈ 1.6
Kai (1)
確率を P P P x > 0 x \gt 0 x > 0
P ( X ≤ x ) = P ( Y ≤ ln x ) = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ln x exp [ − ( y − λ ) 2 2 ζ 2 ] d y ∴ f X ( x ) = d d x P ( X ≤ x ) = 1 2 π ζ x exp [ − ( ln x − λ ) 2 2 ζ 2 ] \begin{aligned}
P \left( X \leq x \right)
&= P \left( Y \leq \ln x \right)
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^{\ln x}
\exp \left[ - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy
\\
\therefore \ \
f_X(x)
&= \frac{d}{dx} P \left( X \leq x \right)
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta x}
\exp \left[ - \frac{(\ln x - \lambda)^2}{2 \zeta^2} \right]
\end{aligned} P ( X ≤ x ) ∴ f X ( x ) = P ( Y ≤ ln x ) = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ l n x exp [ − 2 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] d y = d x d P ( X ≤ x ) = 2 π ζ x 1 exp [ − 2 ζ 2 ( ln x − λ ) 2 ] である。
(2)
μ X = E [ X ] = E [ e Y ] = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ y − ( y − λ ) 2 2 ζ 2 ] d y = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ − y 2 − 2 ( λ + ζ 2 ) y + λ 2 2 ζ 2 ] d y = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ − ( y − ( λ + ζ 2 ) ) 2 − 2 λ ζ 2 − ζ 4 2 ζ 2 ] d y = exp [ λ + ζ 2 2 ] E [ X 2 ] = E [ e 2 Y ] = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ 2 y − ( y − λ ) 2 2 ζ 2 ] d y = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ − y 2 − 2 ( λ + 2 ζ 2 ) y + λ 2 2 ζ 2 ] d y = 1 2 π ζ ∫ − ∞ ∞ exp [ − ( y − ( λ + 2 ζ 2 ) ) 2 − 4 λ ζ 2 − 4 ζ 4 2 ζ 2 ] d y = exp [ 2 λ + 2 ζ 2 ] σ X 2 = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = exp [ 2 λ + 2 ζ 2 ] − exp [ 2 λ + ζ 2 ] = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] \begin{aligned}
\mu_X
&= E \left[ X \right]
\\
&= E \left[ e^Y \right]
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left[ y - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{y^2-2(\lambda + \zeta^2) y + \lambda^2}
{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[
- \frac{(y-(\lambda+\zeta^2))^2 - 2 \lambda \zeta^2 - \zeta^4}
{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \exp \left[ \lambda + \frac{\zeta^2}{2} \right]
\\
E \left[ X^2 \right]
&= E \left[ e^{2Y} \right]
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left[ 2y - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty
\exp \left[ - \frac{y^2-2(\lambda + 2 \zeta^2) y + \lambda^2}
{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[
- \frac{(y-(\lambda+2 \zeta^2))^2 - 4 \lambda \zeta^2 - 4 \zeta^4}
{2 \zeta^2} \right] dy
\\
&= \exp \left[ 2 \lambda + 2 \zeta^2 \right]
\\
\sigma_X^2
&= E \left[ X^2 \right] - E \left[ X \right]^2
\\
&= \exp \left[ 2 \lambda + 2 \zeta^2 \right]
- \exp \left[ 2 \lambda + \zeta^2 \right]
\\
&= \left( e^{\zeta^2} - 1 \right)
\exp \left[ 2 \lambda + \zeta^2 \right]
\end{aligned} μ X E [ X 2 ] σ X 2 = E [ X ] = E [ e Y ] = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ y − 2 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] d y = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ − 2 ζ 2 y 2 − 2 ( λ + ζ 2 ) y + λ 2 ] d y = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ − 2 ζ 2 ( y − ( λ + ζ 2 ) ) 2 − 2 λ ζ 2 − ζ 4 ] d y = exp [ λ + 2 ζ 2 ] = E [ e 2 Y ] = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ 2 y − 2 ζ 2 ( y − λ ) 2 ] d y = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ − 2 ζ 2 y 2 − 2 ( λ + 2 ζ 2 ) y + λ 2 ] d y = 2 π ζ 1 ∫ − ∞ ∞ exp [ − 2 ζ 2 ( y − ( λ + 2 ζ 2 ) ) 2 − 4 λ ζ 2 − 4 ζ 4 ] d y = exp [ 2 λ + 2 ζ 2 ] = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = exp [ 2 λ + 2 ζ 2 ] − exp [ 2 λ + ζ 2 ] = ( e ζ 2 − 1 ) exp [ 2 λ + ζ 2 ] (3)
(a)
L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = ∏ i = 1 n 1 2 π ζ x i exp [ − ( ln x i − λ ) 2 2 ζ 2 ] = ( 2 π ζ ) − n ( ∏ i = 1 n x i ) − 1 exp [ − 1 2 ζ 2 ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ) 2 ] \begin{gathered}
L (x_1, x_2, \cdots, x_n ; \lambda, \zeta)
= \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta x_i}
\exp \left[ - \frac{(\ln x_i - \lambda)^2}{2 \zeta^2} \right]
\\
= \left( \sqrt{2 \pi} \zeta \right)^{-n}
\left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1}
\exp \left[ - \frac{1}{2 \zeta^2} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda)^2 \right]
\end{gathered} L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = i = 1 ∏ n 2 π ζ x i 1 exp [ − 2 ζ 2 ( ln x i − λ ) 2 ] = ( 2 π ζ ) − n ( i = 1 ∏ n x i ) − 1 exp [ − 2 ζ 2 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ) 2 ] (b)
ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = − n 2 ln ( 2 π ) − n ln ζ − ∑ i = 1 n ln x i − 1 2 ζ 2 ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ) 2 ∂ ∂ λ ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = 1 ζ 2 ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ) = n ζ 2 ( 1 n ∑ j = 1 n ln x j − λ ) ∂ ∂ ζ ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = − n ζ + 1 ζ 3 ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ) 2 = − n ζ 3 ( ζ 2 − 1 n ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ) 2 ) \begin{gathered}
\ln L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\lambda,\zeta)
\\
=-\frac n2\ln(2\pi)-n\ln\zeta-\sum_{i=1}^n\ln x_i
\\
{}-\frac1{2\zeta^2}\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\lambda)^2
\\[4pt]
\frac{\partial}{\partial\lambda}\ln L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\lambda,\zeta)
\\
=\frac1{\zeta^2}\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\lambda)
=\frac n{\zeta^2}\left(\frac1n\sum_{j=1}^n\ln x_j-\lambda\right)
\\[4pt]
\frac{\partial}{\partial\zeta}\ln L(x_1,x_2,\cdots,x_n;\lambda,\zeta)
\\
=-\frac n\zeta+\frac1{\zeta^3}\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\lambda)^2
\\
=-\frac n{\zeta^3}\left(\zeta^2-\frac1n\sum_{j=1}^n(\ln x_j-\lambda)^2\right)
\end{gathered} ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = − 2 n ln ( 2 π ) − n ln ζ − i = 1 ∑ n ln x i − 2 ζ 2 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ) 2 ∂ λ ∂ ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = ζ 2 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ) = ζ 2 n ( n 1 j = 1 ∑ n ln x j − λ ) ∂ ζ ∂ ln L ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ; λ , ζ ) = − ζ n + ζ 3 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ) 2 = − ζ 3 n ( ζ 2 − n 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ) 2 ) なので、
λ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ln x j ζ ^ = 1 n ∑ j = 1 n ( ln x j − λ ^ ) 2 \begin{aligned}
\hat{\lambda} &= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \ln x_j
\\
\hat{\zeta}
&= \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n
\left( \ln x_j - \hat{\lambda} \right)^2 }
\end{aligned} λ ^ ζ ^ = n 1 j = 1 ∑ n ln x j = n 1 j = 1 ∑ n ( ln x j − λ ^ ) 2 がわかる。ただし、ln x i \ln x_i ln x i ζ > 0 \zeta>0 ζ > 0
(c)
指定された近似値では
ln 25 = 2 ln 5 ≃ 3.2 , ln 20 = 2 ln 2 + ln 5 ≃ 3.0 , ln 24 = 3 ln 2 + ln 3 ≃ 3.2. \begin{gathered}
\ln25=2\ln5\simeq3.2,\\
\ln20=2\ln2+\ln5\simeq3.0,\\
\ln24=3\ln2+\ln3\simeq3.2.
\end{gathered} ln 25 = 2 ln 5 ≃ 3.2 , ln 20 = 2 ln 2 + ln 5 ≃ 3.0 , ln 24 = 3 ln 2 + ln 3 ≃ 3.2. したがって
λ ^ ≃ 3.2 + 3.0 + 3.2 3 = 47 15 , ζ ^ ≃ ( 1 / 15 ) 2 + ( − 2 / 15 ) 2 + ( 1 / 15 ) 2 3 = 2 15 . \begin{gathered}
\hat\lambda\simeq\frac{3.2+3.0+3.2}{3}=\frac{47}{15},\\
\hat\zeta\simeq\sqrt{\frac{(1/15)^2+(-2/15)^2+(1/15)^2}{3}}
=\frac{\sqrt2}{15}.
\end{gathered} λ ^ ≃ 3 3.2 + 3.0 + 3.2 = 15 47 , ζ ^ ≃ 3 ( 1/15 ) 2 + ( − 2/15 ) 2 + ( 1/15 ) 2 = 15 2 . 小数第1位までで λ ^ ≃ 3.1 , ζ ^ ≃ 0.1 \boxed{\hat\lambda\simeq3.1,\quad\hat\zeta\simeq0.1} λ ^ ≃ 3.1 , ζ ^ ≃ 0.1
Reference