東京工業大学 環境・社会理工学院 土木・環境工学系 2022年8月実施 基礎科目4

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Lognormal-Distribution
• Random-Variable-Transformation
• Lognormal-Parameter-Maximum-Likelihood-Estimation

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約

公式問題PDF、3–4ページ

$Y=\ln X\sim N(\lambda,\zeta^2)$、$\zeta>0$ とする。正規密度とその全積分が1であること、および期待値の積分表示を使ってよい。

1. 変数変換から $x>0$ で $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\zeta x}\exp\!\left[-\frac{(\ln x-\lambda)^2}{2\zeta^2}\right]$ となることを示す。
2. $E[X]$ と $E[X^2]$ を積分し、$\mu_X=e^{\lambda+\zeta^2/2}$、$\sigma_X^2=(e^{\zeta^2}-1)e^{2\lambda+\zeta^2}$ を導く。
3. 独立標本 $x_1,\ldots,x_n$ について以下を行う。最尤法では密度の積である尤度を最大化する。
   • (a) $L(x_1,\ldots,x_n;\lambda,\zeta)$ を書く。
   • (b) 対数尤度を用い、$\hat\lambda=n^{-1}\sum_j\ln x_j$、$\hat\zeta=\sqrt{n^{-1}\sum_j(\ln x_j-\hat\lambda)^2}$ を導く。
   • (c) 繰返し載荷による破壊までの回数を3回測定し、$25,20,24$ を得た。対数正規モデルで $\hat\lambda,\hat\zeta$ を求める。$\ln2\simeq0.7,\ \ln3\simeq1.1,\ \ln5\simeq1.6$ を用い、必要に応じて小数第1位まで四捨五入する。

题目描述

设

$$Y\sim N(\lambda,\zeta^2),\qquad \zeta>0,$$

并定义

$$X=e^Y.$$

1. 通过变量变换求 $X$ 在 $x>0$ 上的概率密度函数 $f_X(x)$。

2. 求 $X$ 的均值 $\mu_X=E[X]$ 与方差 $\sigma_X^2=V(X)$。

3. 设 $x_1,\ldots,x_n$ 是来自上述对数正态分布的独立样本。

   1. 写出参数 $\lambda,\zeta$ 的似然函数

      $$L(x_1,\ldots,x_n;\lambda,\zeta).$$

   2. 求 $\lambda,\zeta$ 的最大似然估计量 $\hat\lambda,\hat\zeta$。

   3. 重复载荷下的破坏次数测得 $25,20,24$。按对数正态模型求 $\hat\lambda,\hat\zeta$。使用 $\ln2\simeq0.7,\ln3\simeq1.1,\ln5\simeq1.6$，必要时四舍五入到小数点后1位。

Kai

(1)

確率を $P$ で表す。 $x \gt 0$ について、

$$\begin{aligned} P \left( X \leq x \right) &= P \left( Y \leq \ln x \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^{\ln x} \exp \left[ - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy \\ \therefore \ \ f_X(x) &= \frac{d}{dx} P \left( X \leq x \right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta x} \exp \left[ - \frac{(\ln x - \lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} \mu_X &= E \left[ X \right] \\ &= E \left[ e^Y \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ y - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ - \frac{y^2-2(\lambda + \zeta^2) y + \lambda^2} {2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ - \frac{(y-(\lambda+\zeta^2))^2 - 2 \lambda \zeta^2 - \zeta^4} {2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \exp \left[ \lambda + \frac{\zeta^2}{2} \right] \\ E \left[ X^2 \right] &= E \left[ e^{2Y} \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ 2y - \frac{(y-\lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ - \frac{y^2-2(\lambda + 2 \zeta^2) y + \lambda^2} {2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta} \int_{-\infty}^\infty \exp \left[ - \frac{(y-(\lambda+2 \zeta^2))^2 - 4 \lambda \zeta^2 - 4 \zeta^4} {2 \zeta^2} \right] dy \\ &= \exp \left[ 2 \lambda + 2 \zeta^2 \right] \\ \sigma_X^2 &= E \left[ X^2 \right] - E \left[ X \right]^2 \\ &= \exp \left[ 2 \lambda + 2 \zeta^2 \right] - \exp \left[ 2 \lambda + \zeta^2 \right] \\ &= \left( e^{\zeta^2} - 1 \right) \exp \left[ 2 \lambda + \zeta^2 \right] \end{aligned}$$

(3)

(a)

$$\begin{aligned} L (x_1, x_2, \cdots, x_n ; \lambda, \zeta) &= \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \zeta x_i} \exp \left[ - \frac{(\ln x_i - \lambda)^2}{2 \zeta^2} \right] \\ &= \left( \sqrt{2 \pi} \zeta \right)^{-n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-1} \exp \left[ - \frac{1}{2 \zeta^2} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda)^2 \right] \end{aligned}$$

(b)

$$\begin{aligned} \ln L (x_1, x_2, \cdots, x_n ; \lambda, \zeta) &= - \frac{n}{2} \ln (2 \pi) - n \ln \zeta - \sum_{i=1}^n \ln x_i - \frac{1}{2 \zeta^2} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda)^2 \\ \frac{\partial}{\partial \lambda} \ln L (x_1, x_2, \cdots, x_n ; \lambda, \zeta) &= \frac{1}{\zeta^2} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda) \\ &= \frac{n}{\zeta^2} \left( \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \ln x_j - \lambda \right) \\ \frac{\partial}{\partial \zeta} \ln L (x_1, x_2, \cdots, x_n ; \lambda, \zeta) &= - \frac{n}{\zeta} + \frac{1}{\zeta^3} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda)^2 \\ &= - \frac{n}{\zeta^3} \left( \zeta^2 - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n (\ln x_j - \lambda)^2 \right) \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \hat{\lambda} &= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \ln x_j \\ \hat{\zeta} &= \sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( \ln x_j - \hat{\lambda} \right)^2 } \end{aligned}$$

がわかる。ただし、$\ln x_i$ がすべて等しい場合は $\zeta>0$ で最尤推定値を持たない。

(c)

指定された近似値では

$$\ln25=2\ln5\simeq3.2,\quad \ln20=2\ln2+\ln5\simeq3.0,\quad \ln24=3\ln2+\ln3\simeq3.2.$$

したがって

$$\hat\lambda\simeq\frac{3.2+3.0+3.2}{3}=\frac{47}{15},\qquad \hat\zeta\simeq\sqrt{\frac{(1/15)^2+(-2/15)^2+(1/15)^2}{3}} =\frac{\sqrt2}{15}.$$

小数第1位までで $\boxed{\hat\lambda\simeq3.1,\quad\hat\zeta\simeq0.1}$ となる。