東京工業大学 環境・社会理工学院 土木・環境工学系 2020年8月実施 午前 基礎科目 問題4

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Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

4. 互いに独立なふたつの正規確率変数 $X_i (i = 1, 2)$ を考え，これらの確率変数の平均および分散をそれぞれ， $\mu_{X_i}, \sigma_{X_i}^2 (i = 1, 2)$ とする。このとき， $\Lambda = \alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2$ によって定義される確率変数 $\Lambda$ は，以下のような平均 $\mu_\Lambda$ および分散 $\sigma_\Lambda^2$ をもつ正規確率変数となる。ただし， $\alpha_i (i = 1, 2)$ はゼロではない任意の実数である。

$$\mu_\Lambda = \alpha_1 \mu_{X_1} + \alpha_2 \mu_{X_2} \tag{1}$$

$$\sigma_\Lambda^2 = \alpha_1^2 \sigma_{X_1}^2 + \alpha_2^2 \sigma_{X_2}^2 \tag{2}$$

このことを用いて以下の問いに答えよ。

なお，任意の確率変数 $X$ が平均 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとき， $X$ の確率密度関数は次式で表わされることを用いてよい。

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[ -\frac{1}{2}\left( \frac{(x - \mu)^2}{\sigma^2} \right) \right] \tag{3}$$

また，解答にあたっては次ページの表 2，表 3 に示す近似値を正しい値とみなして計算に用いること。

(1) $N$ 個 ( $N$ は任意の自然数) の互いに独立な正規確率変数 $X_i (i = 1, \ldots, N)$ を考え，これらの確率変数の平均および分散はそれぞれ， $\mu_{X_i}, \sigma_{X_i}^2 (i = 1, \ldots, N)$ とする。このとき，次式で表わされる確率変数 $Z$ の確率密度関数を求めよ。

$$Z = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i X_i \tag{4}$$

ただし， $\alpha_i$ は任意の実数で，少なくともひとつ以上の $i$ について $\alpha_i \neq 0$ である。

(2) A 市から B 市へ移動する場合，図 1 に示すように P 町を経由するルート a と Q 村を経由するルート b がある。A → P, P → B, A → Q, Q → B の各区間の所要時間は正規分布に従うと仮定することができて，それらの平均および分散は表 1 に示す値であることがわかっている。

表 1 各区間の所要時間の平均および分散

ルート	区間	平均 [時間]	分散 [時間^2]
a	A → P	3	2
	P → B	7	4
b	A → Q	5	1
	Q → B	6	2

このとき，A 市から B 市へ移動する場合について，以下の問いに答えよ。

問 1. ルート a の所要時間が 8 時間 12 分以内となる確率を求めよ。

問 2. ルート b の所要時間が 10 時間 9 分以上，12 時間 42 分以下となる確率を求めよ。

問 3. ルート a のほうがルート b よりも早く B 市に到着する確率を求めよ。

题目描述

考虑两个相互独立的正态随机变量 $X_i$（$i=1,2$），其均值和方差分别为 $\mu_{X_i}$、$\sigma_{X_i}^2$。对任意非零实数 $\alpha_1,\alpha_2$，随机变量

$$\Lambda=\alpha_1X_1+\alpha_2X_2$$

仍服从正态分布，其均值与方差为

$$\mu_\Lambda =\alpha_1\mu_{X_1}+\alpha_2\mu_{X_2}, \tag{1}$$

$$\sigma_\Lambda^2 =\alpha_1^2\sigma_{X_1}^2+\alpha_2^2\sigma_{X_2}^2. \tag{2}$$

并可使用如下事实：若随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$、方差 $\sigma^2$ 的正态分布，则其概率密度为

$$f_X(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[ -\frac12\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2} \right]. \tag{3}$$

作答时，题面要求把下一页表 2、表 3 中给出的近似值视为准确值使用。回答下列问题。

1. 设 $X_i$（$i=1,\ldots,N$）是 $N$ 个相互独立的正态随机变量，其中 $N$ 为任意自然数，$X_i$ 的均值和方差分别为 $\mu_{X_i}$、$\sigma_{X_i}^2$。对任意实数 $\alpha_i$，且至少有一个 $\alpha_i\neq0$，定义

   $$Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iX_i. \tag{4}$$

   求随机变量 $Z$ 的概率密度函数。

2. 从 A 市到 B 市有两条路线。图 1 的含义是：路线 a 依次经过 A $\to$ P、P $\to$ B，路线 b 依次经过 A $\to$ Q、Q $\to$ B。各区段所需时间均可假定服从正态分布，其均值与方差如下。

   路线	区段	均值（小时）	方差（小时$^2$）
   a	A $\to$ P	3	2
   a	P $\to$ B	7	4
   b	A $\to$ Q	5	1
   b	Q $\to$ B	6	2

   回答以下三问。

   1. 求路线 a 的总行程时间不超过 $8$ 小时 $12$ 分的概率。

   2. 求路线 b 的总行程时间在 $10$ 小时 $9$ 分以上且在 $12$ 小时 $42$ 分以下的概率。

   3. 求走路线 a 比走路线 b 更早到达 B 市的概率。

図表の補足

公式問題PDF、4–5ページ

表2：指定された平方根の近似値

$k$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\sqrt{k}$	1	1.4	1.7	2	2.2	2.4	2.6	2.8	3	3.2	3.3	3.5

表3：$\Phi(s)=P(N(0,1)\le s)$ の近似値

$s$	$\Phi(s)$	$s$	$\Phi(s)$	$s$	$\Phi(s)$	$s$	$\Phi(s)$	$s$	$\Phi(s)$	$s$	$\Phi(s)$
0.00	0.500	0.20	0.579	0.40	0.655	0.60	0.726	0.80	0.788	1.00	0.841
0.01	0.504	0.21	0.583	0.41	0.659	0.61	0.729	0.81	0.791	1.01	0.844
0.02	0.508	0.22	0.587	0.42	0.663	0.62	0.732	0.82	0.794	1.02	0.846
0.03	0.512	0.23	0.591	0.43	0.666	0.63	0.736	0.83	0.797	1.03	0.848
0.04	0.516	0.24	0.595	0.44	0.670	0.64	0.739	0.84	0.800	1.04	0.851
0.05	0.520	0.25	0.599	0.45	0.674	0.65	0.742	0.85	0.802	1.05	0.853
0.06	0.524	0.26	0.603	0.46	0.677	0.66	0.745	0.86	0.805	1.06	0.855
0.07	0.528	0.27	0.606	0.47	0.681	0.67	0.749	0.87	0.808	1.07	0.858
0.08	0.532	0.28	0.610	0.48	0.684	0.68	0.752	0.88	0.811	1.08	0.860
0.09	0.536	0.29	0.614	0.49	0.688	0.69	0.755	0.89	0.813	1.09	0.862
0.10	0.540	0.30	0.618	0.50	0.691	0.70	0.758	0.90	0.816	1.10	0.864
0.11	0.544	0.31	0.622	0.51	0.695	0.71	0.761	0.91	0.819	1.11	0.867
0.12	0.548	0.32	0.626	0.52	0.698	0.72	0.764	0.92	0.821	1.12	0.869
0.13	0.552	0.33	0.629	0.53	0.702	0.73	0.767	0.93	0.824	1.13	0.871
0.14	0.556	0.34	0.633	0.54	0.705	0.74	0.770	0.94	0.826	1.14	0.873
0.15	0.560	0.35	0.637	0.55	0.709	0.75	0.773	0.95	0.829	1.15	0.875
0.16	0.564	0.36	0.641	0.56	0.712	0.76	0.776	0.96	0.831	1.16	0.877
0.17	0.567	0.37	0.644	0.57	0.716	0.77	0.779	0.97	0.834	1.17	0.879
0.18	0.571	0.38	0.648	0.58	0.719	0.78	0.782	0.98	0.836	1.18	0.881
0.19	0.575	0.39	0.652	0.59	0.722	0.79	0.785	0.99	0.839	1.19	0.883

原題は区間時間の独立性を個別には再記していない。以下では冒頭の独立性を各区間にも適用する。そうでなければ共分散情報が不足する。

Kai

4. 独立な正規確率変数の線形結合

以下では，問題冒頭の独立性を各区間の所要時間にも適用し，四つの区間時間は互いに独立であるという通常の出題意図で計算する。

(1)

二変数について与えられた事実を帰納的に用いると，

$$Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iX_i$$

も正規分布に従い，その平均と分散は

$$\mu_Z=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\mu_{X_i},\qquad \sigma_Z^2=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2$$

である。少なくとも一つの $\alpha_i$ が非零なので $\sigma_Z^2>0$ であり，求める密度は

$$\boxed{ f_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2}} \exp\!\left[-\frac{\left(z-\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\mu_{X_i}\right)^2}{2\sum_{i=1}^{N}\alpha_i^2\sigma_{X_i}^2}\right] }.$$

(2) 問1

ルート a の総所要時間を $T_a$ とすると

$$T_a\sim N(3+7,\,2+4)=N(10,6).$$

8時間12分は $8.2$ 時間であり、表2に従って $\sqrt6=2.4$ を用いる。標準正規分布の分布関数を $\Phi$ と書けば

$$P(T_a\le8.2)=\Phi\!\left(\frac{8.2-10}{\sqrt6}\right) =\Phi(-1.8/2.4)=\Phi(-0.75) =1-0.773=\boxed{0.227}.$$

(2) 問2

ルート b の総所要時間を $T_b$ とすると

$$T_b\sim N(5+6,\,1+2)=N(11,3).$$

表2の $\sqrt3=1.7$ を使用する。10時間9分は $10.15$ 時間，12時間42分は $12.7$ 時間であるから

$$\begin{aligned} P(10.15\le T_b\le12.7) &=\Phi\!\left(\frac{12.7-11}{\sqrt3}\right)-\Phi\!\left(\frac{10.15-11}{\sqrt3}\right)\\ &=\Phi(1)-\Phi(-0.5)\\ &=0.841-(1-0.691)\\ &=\boxed{0.532}. \end{aligned}$$

(2) 問3

独立性から差 $D=T_a-T_b$ も正規分布に従い，

$$D\sim N(10-11,\,6+3)=N(-1,9).$$

したがって

$$P(T_a<T_b)=P(D<0)=\Phi\!\left(\frac{0-(-1)}{3}\right) =\Phi(1/3).$$

表3では $1/3$ を小数第2位の $0.33$ に丸めて参照すると $\boxed{0.629}$ となる。原題は表の刻みの間の扱いを指定していないため、$\Phi(0.33)=0.629$ と $\Phi(0.34)=0.633$ を線形補間する場合は約 $0.6303$ である。分布関数の式 $\Phi(1/3)$ は共通である。

参考として、指定された表を使わずに高精度で計算すると問1–3はそれぞれ約 $0.2312,0.5250,0.6306$ になる。上では「表の近似値を正しい値とみなす」という設問の指定に従った。