東京工業大学 環境・社会理工学院 土木・環境工学系 2020年8月実施 午前 基礎科目 問題2

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• 东京科学大学
• 可分离变量的常微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

2. 次の常微分方程式の一般解を求めよ。

(1)

$$\frac{d^2 y}{dx^2} - 3 \frac{dy}{dx} + 2y = 8x^2 + 8$$

(2)

$$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y - \cos x = 0$$

(3)

$$(2e^x + 4) \frac{dy}{dx} = 1$$

题目描述

求下列三个常微分方程的通解：

1. 求解微分方程：

   $$\frac{d^2y}{dx^2} -3\frac{dy}{dx} +2y =8x^2+8.$$

2. 求解微分方程：

   $$\frac{dy}{dx}+\frac1x\,y-\cos x=0,$$

   其中解应在不跨越奇点 $x=0$ 的区间上讨论。

3. 求解微分方程：

   $$(2e^x+4)\frac{dy}{dx}=1.$$

Kai

2. 一般解

(1)

同次方程式の特性方程式は

$$r^2-3r+2=(r-1)(r-2)=0$$

であるから，同次解は $C_1e^x+C_2e^{2x}$ である。特解を $y_p=ax^2+bx+c$ とおくと，

$$y_p''-3y_p'+2y_p=2ax^2+(-6a+2b)x+(2a-3b+2c).$$

これを $8x^2+8$ と係数比較して

$$a=4,\qquad b=12,\qquad c=18$$

を得る。したがって一般解は

$$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{2x}+4x^2+12x+18}.$$

(2)

$x\neq0$ の各区間で積分因子を $x$ と取ると，

$$(xy)'=x\cos x.$$

部分積分により $\int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x$ なので，

$$xy=x\sin x+\cos x+C.$$

ゆえに

$$\boxed{y=\sin x+\frac{\cos x}{x}+\frac{C}{x}\qquad(x\neq0)}.$$

(3)

与式から

$$y'=\frac{1}{2(e^x+2)}.$$

ここで

$$\int\frac{dx}{2(e^x+2)}=-\frac14\log(1+2e^{-x})+C$$

である。したがって

$$\boxed{y=-\frac14\log(1+2e^{-x})+C}$$

（同値な形は $y=\frac{x}{4}-\frac14\log(e^x+2)+C$ ）である。実際，微分すると $1/[2(e^x+2)]$ に戻る。