東京工業大学 環境・社会理工学院 土木・環境工学系 2019年8月実施 午前 基礎科目 問題1

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• 东京科学大学
• 二阶线性常微分方程

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思齐塾, 祭音Myyura

Description

1. 次の常微分方程式の一般解を求めよ．

(1) $(2x + y)dx + xdy = 0$

(2) $\frac{d^2 y}{dx^2} - \frac{dy}{dx} - 6y = 0$

(3) $\frac{d^2 y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = \cos(2x)$

题目描述

求下列三个常微分方程的通解：

1. 求解微分方程：

   $$(2x+y)\,dx+x\,dy=0.$$

2. 求解微分方程：

   $$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}-6y=0.$$

3. 求解微分方程：

   $$\frac{d^2y}{dx^2} +3\frac{dy}{dx} +2y =\cos(2x).$$

Kai

1.

(1)

左辺は完全微分であり、

$$d(x^2+xy)=(2x+y)\,dx+x\,dy$$

である。したがって一般解は

$$\boxed{x^2+xy=C}$$

である。 $x\ne0$ の区間では $y=C/x-x$ と書いてもよい。

(2)

特性方程式は

$$r^2-r-6=(r-3)(r+2)=0$$

である。したがって一般解は

$$\boxed{y=C_1e^{3x}+C_2e^{-2x}}$$

である。

(3)

同次方程式の特性方程式は

$$r^2+3r+2=(r+1)(r+2)=0$$

なので、同次解は $C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}$ である。特解を

$$y_p=a\cos2x+b\sin2x$$

とおいて代入すると、 $\cos2x$ と $\sin2x$ の係数比較から

$$-2a+6b=1,\qquad -6a-2b=0.$$

よって $a=-1/20,\ b=3/20$ である。したがって

$$\boxed{y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}-\frac1{20}\cos2x+\frac3{20}\sin2x}$$

となる。特解を左辺に代入すると正確に $\cos2x$ が得られる。