東京工業大学 工学院 システム制御系 2023年度 数学 問題4（2022年8月実施）

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• 东京科学大学
• 积分因子
• 常微分方程组

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

初期条件 $u(0)=0$ のもとで、実関数 $u(t)$ の微分方程式

$$\frac{du}{dt}=6u-7e^{2t}$$

を解け。

問2

実関数 $u_1(t),u_2(t)$ が次の連立微分方程式と初期条件を満たすとき、その解を求めよ。

$$\begin{cases} \displaystyle\frac{du_1}{dt}=6u_1+4u_2-7e^{2t},\\[4pt] \displaystyle\frac{du_2}{dt}=2u_1+4u_2-5e^{2t}, \end{cases} \qquad u_1(0)=\frac{37}{3},\quad u_2(0)=\frac53.$$

题目描述

问1：求实函数初值问题 $u'=6u-7e^{2t}$、$u(0)=0$ 的解。

问2：求以下实函数微分方程组在给定初值下的解：

$$\begin{cases} u_1'=6u_1+4u_2-7e^{2t},\\ u_2'=2u_1+4u_2-5e^{2t}, \end{cases} \qquad u_1(0)=\frac{37}{3},\quad u_2(0)=\frac53.$$

Kai

問1

積分因子 $e^{-6t}$ を用いると、

$$\frac{d}{dt}(e^{-6t}u)=-7e^{-4t}.$$

$0$ から $t$ まで積分し、$u(0)=0$ を代入すれば、

$$e^{-6t}u(t)=\frac74(e^{-4t}-1), \qquad \boxed{u(t)=\frac74(e^{2t}-e^{6t})}.$$

問2

$x=u_1+u_2$、$y=u_1-2u_2$ とおくと、与式の和と差から

$$x'=8x-12e^{2t},\qquad y'=2y+3e^{2t}, \qquad x(0)=14,\quad y(0)=9.$$

積分因子を用いて、

$$\frac{d}{dt}(e^{-8t}x)=-12e^{-6t},\qquad \frac{d}{dt}(e^{-2t}y)=3.$$

初期値を代入して積分すると、

$$x(t)=12e^{8t}+2e^{2t},\qquad y(t)=(9+3t)e^{2t}.$$

$u_1=(2x+y)/3$、$u_2=(x-y)/3$ に戻せば、

$$\boxed{\begin{aligned} u_1(t)&=8e^{8t}+\left(t+\frac{13}{3}\right)e^{2t},\\ u_2(t)&=4e^{8t}-\left(t+\frac73\right)e^{2t}. \end{aligned}}$$