東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年8月実施 数学 問題3

标签：

• 东京科学大学
• 矩生成函数
• 正态分布
• 贝叶斯定理
• 后验赔率

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

確率密度関数 $p(x)$ をもつ確率変数 $X$ に対して、モーメント母関数 $M(\theta)$ は、変数 $\theta$ を用いて、次式で定義される。

$$M(\theta)=E[\exp(\theta X)] =\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\theta x)p(x)\,dx$$

また、$N(\mu,\sigma^2)$ は、平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布を表し、その確率密度関数 $p_N(x)$ は次式で定義される。以下の問に答えよ。

$$p_N(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

(1) $N(\mu,\sigma^2)$ のモーメント母関数を $M_N(\theta)$ としたとき、次式を導出せよ。

$$M_N(\theta)=\exp\left(\mu\theta+\frac{\sigma^2}{2}\theta^2\right)$$

(2) $X_1,X_2$ はそれぞれ、正規分布 $N(\mu_1,\sigma_0^2)$、$N(\mu_2,\sigma_0^2)$ に従う独立な確率変数である。また、$Y=X_1+X_2$、$Z=X_1-X_2$ のモーメント母関数 $M_Y(\theta)$、$M_Z(\theta)$ は、

$$M_Y(\theta)=\exp(\theta^2),\qquad M_Z(\theta)=\exp\left(\frac43\theta+\theta^2\right)$$

で与えられる。このとき、$\mu_1,\mu_2,\sigma_0^2$ を求めよ。

問2

事象 $A,B$ の事前（周辺）確率 $P(A),P(B)$、および条件付確率 $P(B\mid A),P(A\mid B)$ が与えられたとき、ベイズの定理を用いれば、これらの関係は次式で表される。以下の問に答えよ。

$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$$

(1) ある病気がパンデミックを引き起こし、人口の半数が罹患する状況となった。この病気に対し、検査薬 $X$ が開発された。検査薬 $X$ は罹患者の $60\%$ を陽性と判定できる一方、罹患していない人の $4\%$ は誤って陽性と判定される。検査薬 $X$ で陽性と判定された場合に実際に罹患している確率を求めよ。

(2) その後、パンデミックがおさまり、罹患者は人口の $5\%$ に低下した。この場合、検査薬 $X$ を用いて $90\%$ 以上の確率で陽性と判定されるためには、検査薬 $X$ で初回から何回連続して陽性と判定される必要があるかを理由とともに示せ。ただし、各回の検査は独立であると仮定する。

题目描述

问1 对具有概率密度函数 $p(x)$ 的随机变量 $X$，矩母函数 $M(\theta)$ 使用变量 $\theta$ 定义为

$$M(\theta)=E[\exp(\theta X)] =\int_{-\infty}^{\infty}\exp(\theta x)p(x)\,dx.$$

另外，$N(\mu,\sigma^2)$ 表示均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布，其概率密度函数定义为

$$p_N(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).$$

回答以下问题。

(1) 将 $N(\mu,\sigma^2)$ 的矩母函数记为 $M_N(\theta)$，推导

$$M_N(\theta)=\exp\left(\mu\theta+\frac{\sigma^2}{2}\theta^2\right).$$

(2) $X_1,X_2$ 是分别服从正态分布 $N(\mu_1,\sigma_0^2)$、$N(\mu_2,\sigma_0^2)$ 的独立随机变量。$Y=X_1+X_2$、$Z=X_1-X_2$ 的矩母函数分别为

$$M_Y(\theta)=\exp(\theta^2),\qquad M_Z(\theta)=\exp\left(\frac43\theta+\theta^2\right).$$

求 $\mu_1,\mu_2,\sigma_0^2$。

问2 给定事件 $A,B$ 的先验（边缘）概率 $P(A),P(B)$ 和条件概率 $P(B\mid A),P(A\mid B)$，由贝叶斯定理可将它们的关系写为

$$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}.$$

回答以下问题。

(1) 某种疾病引发大流行，一半人口患病。针对该病开发了检测试剂 $X$。它能将患病者中的 $60\%$ 判为阳性，同时会将未患病者中的 $4\%$ 错判为阳性。若使用试剂 $X$ 被判为阳性，求实际患病的概率。

(2) 此后大流行平息，患病人数降至总人口的 $5\%$。此时，若要使用试剂 $X$ 以 $90\%$ 以上的概率判定为阳性，从首次检测起需要连续几次被判为阳性？写出理由。假设各次检测相互独立。

Kai

問1

(1)

指数部分を平方完成すると、

$$\theta x-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} =-\frac{\{x-(\mu+\sigma^2\theta)\}^2}{2\sigma^2} +\mu\theta+\frac{\sigma^2\theta^2}{2}.$$

したがって、

$$M_N(\theta)=e^{\mu\theta+\sigma^2\theta^2/2} \int_{-\infty}^{\infty}\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left[-\frac{\{x-(\mu+\sigma^2\theta)\}^2}{2\sigma^2}\right]dx.$$

積分は正規密度の全積分で $1$ となり、

$$\boxed{M_N(\theta)=\exp\left(\mu\theta+\frac{\sigma^2\theta^2}{2}\right)}.$$

(2)

独立性から、

$$\begin{aligned} M_Y(\theta)&=M_{X_1}(\theta)M_{X_2}(\theta) =\exp\{(\mu_1+\mu_2)\theta+\sigma_0^2\theta^2\},\\ M_Z(\theta)&=M_{X_1}(\theta)M_{X_2}(-\theta) =\exp\{(\mu_1-\mu_2)\theta+\sigma_0^2\theta^2\}. \end{aligned}$$

与式と係数を比較すると $\mu_1+\mu_2=0$、$\mu_1-\mu_2=4/3$、$\sigma_0^2=1$ である。ゆえに、

$$\boxed{\mu_1=\frac23,\qquad\mu_2=-\frac23,\qquad\sigma_0^2=1}.$$

問2

(1)

罹患を $A$、陽性を $B$ とすると、

$$\boxed{P(A\mid B) =\frac{0.6\times0.5}{0.6\times0.5+0.04\times0.5} =\frac{15}{16}=0.9375}.$$

(2)

$B_n$ を初回から $n$ 回連続して陽性となる事象とする。罹患の有無を固定したときの検査の独立性により、

$$P(B_n\mid A)=0.6^n,\qquad P(B_n\mid\overline A)=0.04^n.$$

事前確率が $P(A)=0.05$ なので、

$$P(A\mid B_n) =\frac{0.05\,0.6^n}{0.05\,0.6^n+0.95\,0.04^n} =\frac{15^n}{15^n+19}.$$

従って、

$$P(A\mid B_n)\ge\frac9{10} \iff 15^n\ge171.$$

$15<171<15^2=225$ であるから、必要な最少回数は $\boxed{2\text{回}}$ である。実際、1回では $15/34\approx0.441$、2回では $225/244\approx0.922$ となる。