東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年8月実施 数学 問題2

标签：

• 东京科学大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化
• 矩阵幂
• 向量积与混合积
• 反对称矩阵
• 矩阵指数

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

2 次正方行列

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

について、以下の問に答えよ。

(1) $A$ の固有値とこれに対応する固有ベクトルをすべて求めよ。固有ベクトルは大きさが $1$ になるように正規化せよ。

(2) $A$ について、$A^n$（$n$ は自然数）を求めよ。

問2

図1のように、ある点が角速度 $\omega$（$\omega>0$）で3次元空間内を等速円運動している。回転軸は原点 $O$ を通るとし、その方向を単位ベクトル $\boldsymbol p$ で表す。この回転する点の時刻 $t$ における位置を $\boldsymbol x(t)$ とおく。$\boldsymbol x(t)$ における点の速度を、3次正方行列 $C$ を用いて

$$\frac{d\boldsymbol x(t)}{dt}=C\boldsymbol x(t)$$

と表す。$C$ を $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^T$ の要素 $p_i$（$i=1,2,3$）と角速度 $\omega$ を用いて表せ。ただし、行列 $A$ の転置を $A^T$ と表す。

問3

$X$ は実交代行列であるとする。実交代行列とは実数からなる正方行列で、$X^T=-X$ を満たすものをいう。$Y=\exp(X)$ について、以下の問に答えよ。答えだけでなく導出も示すこと。ただし、$\exp(X)$ は次式で表される。

$$\exp(X)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}X^n$$

(1) $Y$ の行列式 $\det(Y)$ を求めよ。ただし、実交代行列は対角化可能で、その非零の固有値は全て純虚数であり、$\pm\lambda_1,\pm\lambda_2,\ldots$ のようにペアの形で求まることを用いてよい。

(2) $YY^T$ および、$Y^TY$ を求めよ。

题目描述

问1 对二阶方阵

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix},$$

回答以下问题。

(1) 求 $A$ 的全部特征值及对应的特征向量。特征向量应归一化，使其长度为 $1$。

(2) 求 $A^n$，其中 $n$ 为自然数。

问2 如图1，一个点在三维空间内以角速度 $\omega$（$\omega>0$）做匀速圆周运动。旋转轴通过原点 $O$，其方向用单位向量 $\boldsymbol p$ 表示。设该旋转点在时刻 $t$ 的位置为 $\boldsymbol x(t)$。使用三阶方阵 $C$，将位于 $\boldsymbol x(t)$ 的点的速度写为

$$\frac{d\boldsymbol x(t)}{dt}=C\boldsymbol x(t).$$

用 $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^T$ 的元素 $p_i$（$i=1,2,3$）和角速度 $\omega$ 表示 $C$。矩阵 $A$ 的转置记为 $A^T$。

问3 设 $X$ 为实反对称矩阵，即元素为实数且满足 $X^T=-X$ 的方阵。对于 $Y=\exp(X)$，回答以下问题。不仅要给出答案，还要写出推导。其中

$$\exp(X)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}X^n.$$

(1) 求 $Y$ 的行列式 $\det(Y)$。可以使用以下事实：实反对称矩阵可对角化，全部非零特征值均为纯虚数，且以 $\pm\lambda_1,\pm\lambda_2,\ldots$ 的形式成对出现。

(2) 求 $YY^T$ 及 $Y^TY$。

Kai

問1

(1)

特性方程式は

$$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)=0.$$

したがって、固有値と正規化された実固有ベクトルは

$$\boxed{\lambda=1:\quad\pm\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \qquad \lambda=3:\quad\pm\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}.$$

(2)

固有ベクトルを列に並べた直交行列

$$P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$$

を用いると $P^TAP=\operatorname{diag}(1,3)$ である。よって、

$$\boxed{A^n=P\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}P^T =\frac12\begin{pmatrix}1+3^n&3^n-1\\3^n-1&1+3^n\end{pmatrix}}.$$

問2

図の回転方向に対する角速度ベクトルは $\omega\boldsymbol p$ である。したがって、

$$\frac{d\boldsymbol x}{dt}=\omega\boldsymbol p\times\boldsymbol x =\omega\begin{pmatrix} p_2x_3-p_3x_2\\p_3x_1-p_1x_3\\p_1x_2-p_2x_1 \end{pmatrix}.$$

各成分の係数を並べれば、

$$\boxed{C=\omega\begin{pmatrix} 0&-p_3&p_2\\p_3&0&-p_1\\-p_2&p_1&0 \end{pmatrix}}.$$

問3

(1)

$X=PDP^{-1}$ と対角化すると、べき級数の定義から $Y=P\exp(D)P^{-1}$ となる。零固有値がある場合、その指数は $1$ であり、非零固有値は対をなすので、

$$\boxed{\det Y=\det(\exp D) =\prod_j e^{\lambda_j}e^{-\lambda_j}=1}.$$

(2)

べき級数の各項を転置して、

$$Y^T=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(X^T)^n}{n!} =\exp(-X).$$

$X$ と $-X$ は可換であるから、

$$\boxed{YY^T=e^Xe^{-X}=I,\qquad Y^TY=e^{-X}e^X=I}.$$

Reference

• 大学公式問題