東京工業大学 工学院 システム制御系 2023年度 数学 問題2（2022年8月実施）

标签：

• 东京科学大学
• 特征值与特征向量
• 矩阵对角化
• 矩阵幂
• 向量积与混合积
• 反对称矩阵
• 矩阵指数

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

行列

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

について、次の問いに答えよ。

1. 固有値と対応する固有ベクトルをすべて求めよ。固有ベクトルの長さは $1$ に正規化すること。
2. 自然数 $n$ に対して $A^n$ を求めよ。

問2

図1の点は、原点 $O$ を通る軸の周りを角速度 $\omega>0$ で等速円運動する。軸の向きを単位ベクトル $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^T$、時刻 $t$ の点の位置を $\boldsymbol x(t)$ と表す。

原図：大学公式問題（4ページ）

速度を $d\boldsymbol x(t)/dt=C\boldsymbol x(t)$ と書くとき、$3\times3$ 行列 $C$ を $p_1,p_2,p_3,\omega$ で表せ。上付きの $T$ は転置を意味する。

問3

実数成分の正方行列 $X$ が $X^T=-X$ を満たすとき、$X$ を実交代行列という。行列指数関数を

$$Y=\exp X=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{X^n}{n!}$$

で定める。以下の結果を導出とともに示せ。

1. $\det Y$ を求めよ。実交代行列は対角化でき、非零固有値は純虚数で、$\pm\lambda_1,\pm\lambda_2,\ldots$ の対をなすことを使ってよい。
2. $YY^T$ と $Y^TY$ を求めよ。

题目描述

问1：对 $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$，求全部特征值及对应的单位特征向量，并求自然数 $n$ 次幂 $A^n$。

问2：如图1，质点以角速度 $\omega>0$ 绕过原点的轴做匀速圆周运动。转轴方向的单位向量为 $\boldsymbol p=(p_1,p_2,p_3)^T$，位置为 $\boldsymbol x(t)$。将速度写成 $d\boldsymbol x/dt=C\boldsymbol x$，用 $p_1,p_2,p_3,\omega$ 表示三阶矩阵 $C$。$T$ 表示转置。

问3：设实反对称矩阵 $X$ 满足 $X^T=-X$，定义 $Y=\exp X=\sum_{n=0}^{\infty}X^n/n!$。推导 $\det Y$、$YY^T$ 和 $Y^TY$。可使用实反对称矩阵可对角化，且非零特征值为成对的纯虚数 $\pm\lambda_1,\pm\lambda_2,\ldots$ 这一事实。

Kai

問1

(1)

特性方程式は

$$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=(\lambda-1)(\lambda-3)=0.$$

したがって、固有値と正規化された実固有ベクトルは

$$\boxed{\lambda=1:\quad\pm\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \qquad \lambda=3:\quad\pm\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}.$$

(2)

固有ベクトルを列に並べた直交行列

$$P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$$

を用いると $P^TAP=\operatorname{diag}(1,3)$ である。よって、

$$\boxed{A^n=P\begin{pmatrix}1&0\\0&3^n\end{pmatrix}P^T =\frac12\begin{pmatrix}1+3^n&3^n-1\\3^n-1&1+3^n\end{pmatrix}}.$$

問2

図の回転方向に対する角速度ベクトルは $\omega\boldsymbol p$ である。したがって、

$$\frac{d\boldsymbol x}{dt}=\omega\boldsymbol p\times\boldsymbol x =\omega\begin{pmatrix} p_2x_3-p_3x_2\\p_3x_1-p_1x_3\\p_1x_2-p_2x_1 \end{pmatrix}.$$

各成分の係数を並べれば、

$$\boxed{C=\omega\begin{pmatrix} 0&-p_3&p_2\\p_3&0&-p_1\\-p_2&p_1&0 \end{pmatrix}}.$$

問3

(1)

$X=PDP^{-1}$ と対角化すると、べき級数の定義から $Y=P\exp(D)P^{-1}$ となる。零固有値がある場合、その指数は $1$ であり、非零固有値は対をなすので、

$$\boxed{\det Y=\det(\exp D) =\prod_j e^{\lambda_j}e^{-\lambda_j}=1}.$$

(2)

べき級数の各項を転置して、

$$Y^T=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(X^T)^n}{n!} =\exp(-X).$$

$X$ と $-X$ は可換であるから、

$$\boxed{YY^T=e^Xe^{-X}=I,\qquad Y^TY=e^{-X}e^X=I}.$$