東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年8月実施 数学 問題1

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• 东京科学大学
• 洛必达法则
• 算术–几何平均不等式
• 拉普拉斯变换
• 二重积分

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

以下の問に答えよ。

(1) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\log_e(1+x)}{x^2}$$

(2) 実数 $x,y,z$ が $xy+yz+zx=k^2$（ただし、$x>0,y>0,z>0,k>0$）を満たすとき、$xyz$ の最大値を求めよ。

問2

次の実関数 $f(t)$（ただし、$t>0$）について、以下の問に答えよ。

$$f(t)=\int_0^t e^{-\tau}\cos\omega\tau\,d\tau$$

(1) $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ を求めよ。ラプラス変換は次式で定義される。ただし、$\operatorname{Re}(s)>0$ とする。$\operatorname{Re}(s)$ は複素数 $s$ の実部を表す。

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt$$

(2) $\lim_{t\to\infty}f(t)$ を求めよ。

問3

3 次元空間に直交座標系 $O$-$xyz$ をとる。$x^2+y^2\le1$、$0\le z\le h(1-x-y)$ で定められる立体 $C$ について、以下の問に答えよ。ただし、$h\ge0$ とする。

(1) 立体 $C$ のうち、$x\ge0,y\ge0$ で定められる領域の体積 $V_1$ を求めよ。

(2) 立体 $C$ の体積 $V_2$ を求めよ。

题目描述

问1 回答以下问题。

(1) 求下列极限：

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\log_e(1+x)}{x^2}.$$

(2) 实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx=k^2$，其中 $x>0,y>0,z>0,k>0$。求 $xyz$ 的最大值。

问2 对下列实函数 $f(t)$（$t>0$），回答问题：

$$f(t)=\int_0^t e^{-\tau}\cos\omega\tau\,d\tau.$$

(1) 求 $f(t)$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$。拉普拉斯变换定义为

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt.$$

这里 $\operatorname{Re}(s)>0$，$\operatorname{Re}(s)$ 表示复数 $s$ 的实部。

(2) 求 $\lim_{t\to\infty}f(t)$。

问3 在三维空间中取直角坐标系 $O$-$xyz$。对由 $x^2+y^2\le1$、$0\le z\le h(1-x-y)$ 确定的立体 $C$，回答以下问题，其中 $h\ge0$。

(1) 求立体 $C$ 中满足 $x\ge0,y\ge0$ 的区域体积 $V_1$。

(2) 求立体 $C$ 的体积 $V_2$。

Kai

問1

(1)

ロピタルの定理より、

$$\lim_{x\to0}\frac{x-\log(1+x)}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{1-(1+x)^{-1}}{2x} =\lim_{x\to0}\frac{1}{2(1+x)} =\boxed{\frac12}.$$

(2)

$xy,yz,zx>0$ に相加相乗平均の不等式を適用すると、

$$k^2=xy+yz+zx\ge3\sqrt[3]{(xyz)^2}.$$

等号は $xy=yz=zx$、すなわち $x=y=z=k/\sqrt3$ のとき成立する。したがって、

$$\boxed{\max xyz=\frac{k^3}{3\sqrt3}}.$$

問2

(1)

$f(0)=0$、$f'(t)=e^{-t}\cos\omega t$ であり、$f$ は有界である。よって $\operatorname{Re}s>0$ で部分積分すると、

$$F(s)=\frac1s\int_0^\infty e^{-(s+1)t}\cos\omega t\,dt.$$

$\cos\omega t=(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})/2$ を用いれば、

$$\boxed{ F(s)=\frac1{2s}\left(\frac1{s+1-i\omega}+\frac1{s+1+i\omega}\right) =\frac{s+1}{s\{(s+1)^2+\omega^2\}}}.$$

(2)

直接積分すると、

$$f(t)=\frac{1-e^{-t}\cos\omega t+\omega e^{-t}\sin\omega t}{1+\omega^2}.$$

三角関数が有界であることから、

$$\boxed{\lim_{t\to\infty}f(t)=\frac1{1+\omega^2}}.$$

問3

$h=0$ では $V_1=V_2=0$ である。以下 $h>0$ とする。高さが非負であるためには、円板の条件に加えて $x+y\le1$ が必要である。

(1)

第1象限の射影領域は $x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1$ という三角形である。この領域では $x^2+y^2\le(x+y)^2\le1$ も満たされる。したがって、

$$V_1=h\int_0^1\int_0^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx =\frac h2\int_0^1(1-x)^2\,dx =\boxed{\frac h6}.$$

(2)

第2、第3、第4象限の単位円板では $x+y\le1$ が成立する。それぞれの体積を $W_2,W_3,W_4$ とすると、極座標により

$$\begin{gathered} W_j=h\int_{(j-1)\pi/2}^{j\pi/2}\int_0^1 \{1-r(\cos\theta+\sin\theta)\}r\,dr\,d\theta\\ =h\left[\frac\theta2-\frac{\sin\theta-\cos\theta}{3}\right]_{(j-1)\pi/2}^{j\pi/2}. \end{gathered}$$

よって、

$$W_2=W_4=\frac{\pi h}{4},\qquad W_3=h\left(\frac\pi4+\frac23\right).$$

以上から、

$$\boxed{V_2=V_1+W_2+W_3+W_4 =h\left(\frac{3\pi}{4}+\frac56\right)}.$$