東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年度 2021年8月実施 問題4

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• 东京科学大学
• 波动方程
• 拉普拉斯变换

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

2つの独立な実変数 $x,t$ の実関数 $u(x,t)$ は、$t$ に関するラプラス変換が可能であるとする。$u(x,t)$ は以下の偏微分方程式、境界条件、初期条件を満たす。

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\sin\pi t\sin\pi x \qquad(0\le x\le1,\quad0\le t<\infty).\tag{1}$$

境界条件：$u(0,t)=u(1,t)=0$。

初期条件：$u(x,0)=\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$。

なお、$u(x,t)$ の $t$ に関するラプラス変換 $U(x,s)$ は、複素数 $s$ を変数として次式で表される。

$$U(x,s)=\int_0^\infty u(x,t)e^{-st}\,dt.$$

以下の問に答えよ。導出過程も示すこと。

1. 式(1)をラプラス変換し、初期条件を考慮して、$U(x,s)$ の $x$ に関する微分方程式を導出せよ。
2. 問1で導出した微分方程式を解き、解 $U(x,s)$ を求めよ。
3. 問2で得られた解をラプラス逆変換し、解 $u(x,t)$ を求めよ。

题目描述

实函数 $u(x,t)$ 可对 $t$ 作拉普拉斯变换，并满足上述受迫波动方程，定义域为 $0\le x\le1$、$t\ge0$。边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$，初始位移与初始速度均为零。设拉普拉斯变换为 $U(x,s)=\int_0^\infty u(x,t)e^{-st}\,dt$。

1. 利用初始条件，对原偏微分方程作拉普拉斯变换，导出关于 $x$ 的常微分方程。
2. 求出 $U(x,s)$。
3. 通过拉普拉斯逆变换求 $u(x,t)$。各问均需写出推导过程。

Kai

問1

初期条件より $\mathcal L[u_{tt}]=s^2U$、また $\mathcal L[\sin\pi t]=\pi/(s^2+\pi^2)$ である。従って

$$\boxed{\frac{\partial^2U}{\partial x^2}-s^2U =-\frac{\pi}{s^2+\pi^2}\sin\pi x},\qquad U(0,s)=U(1,s)=0.$$

以下では変換の収束する $\operatorname{Re}s>0$ を考える。

問2

特殊解を $C(s)\sin\pi x$ とおくと

$$-(s^2+\pi^2)C(s)=-\frac\pi{s^2+\pi^2},\qquad C(s)=\frac\pi{(s^2+\pi^2)^2}.$$

一般解は

$$U(x,s)=A(s)e^{sx}+B(s)e^{-sx} +\frac{\pi\sin\pi x}{(s^2+\pi^2)^2}.$$

境界条件から $A+B=0$、$Ae^s+Be^{-s}=0$ となる。$\operatorname{Re}s>0$ では $e^s-e^{-s}\ne0$ なので $A=B=0$。従って

$$\boxed{U(x,s)=\frac{\pi\sin\pi x}{(s^2+\pi^2)^2}}.$$

問3

変換公式と $\mathcal L[t f(t)]=-\dfrac{d}{ds}\mathcal L[f(t)]$ より

$$\mathcal L[\sin\pi t]=\frac\pi{s^2+\pi^2},\qquad \mathcal L[t\cos\pi t]=\frac{s^2-\pi^2}{(s^2+\pi^2)^2}.$$

したがって

$$\frac\pi{(s^2+\pi^2)^2} =\frac1{2\pi^2}\frac\pi{s^2+\pi^2} -\frac1{2\pi}\frac{s^2-\pi^2}{(s^2+\pi^2)^2}.$$

逆変換して

$$\boxed{u(x,t)=\frac{\sin\pi t-\pi t\cos\pi t}{2\pi^2}\sin\pi x}.$$

この式は $u(x,0)=u_t(x,0)=0$ および両端の境界条件を満たす。