東京工業大学 工学院 システム制御系 2021年8月実施 問題3

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Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

公式問題・5ページ

全問で導出を示す。

$X,Y$ は独立な非負整数値確率変数で、$\lambda>0$, $0<q<1$ とする。確率質量関数は

$$P(X=x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\quad(x=0,1,\ldots),\qquad P(Y=y)=\begin{cases}(1-q)q^{y-1},&y=1,2,\ldots,\\0,&y=0.\end{cases}$$

1. 任意の確率変数 $S$ について $\operatorname{Var}(S)=E[S^2]-(E[S])^2$ を示す。
2. 与えられた矩母関数 $M_X(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}$ から $X$ の平均と分散を求める。
3. $t<-\log q$ において、$M_Y(t)=(1-q)e^t/(1-qe^t)$ を導く。
4. $Z=X+Y$ の矩母関数を $M_X,M_Y$ で表す。
5. $q=1/2$, $\lambda=1$, $t<\log2$ とする。(1) $M_Z(t)$、(2) その導関数、(3) $Z$ の平均を順に求める。

题目描述

设 $X,Y$ 相互独立，$X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，$\lambda>0$；$Y$ 服从下述正整数值几何分布，$0<q<1$。各问均需给出推导。

1. 对随机变量 $S$，从方差定义证明

   $$\sigma_S^2 =E[(S-E[S])^2] =E[S^2]-(E[S])^2.$$

2. 设 $X$ 的矩母函数为 Poisson 形式

   $$M_X(t)=\exp\{\lambda(e^t-1)\}.$$

   通过 $M_X'(0)$、$M_X''(0)$ 求 $E[X]$ 和 $V(X)$。

3. 随机变量 $Y$ 取 $1,2,\ldots$，概率质量函数为

   $$P(Y=y)=(1-q)q^{y-1}.$$

   求其矩母函数 $M_Y(t)$；相应级数收敛时需有 $qe^t<1$。

4. 若 $X,Y$ 相互独立且

   $$Z=X+Y,$$

   证明

   $$M_Z(t)=M_X(t)M_Y(t).$$

5. 取 $\lambda=1,q=1/2$，在 $t<\ln2$ 时有

   $$M_X(t)=\exp(e^t-1), \qquad M_Y(t)=\frac{e^t}{2-e^t}, \qquad Z=X+Y,$$

   且 $X,Y$ 独立。

   1. 求 $M_Z(t)$；
   2. 求 $M_Z'(t)$；
   3. 由 $M_Z'(0)$ 求 $\mu_Z=E[Z]$。

Kai

問1

$$\begin{aligned} \sigma_S^2 &= E \left[ \left( S - E[S] \right)^2 \right] \\ &= E \left[ S^2 - 2E[S]S + \left( E[S] \right)^2 \right] \\ &= E \left[ S^2 \right] - 2 \left( E[S] \right)^2 + \left( E[S] \right)^2 \\ &= E \left[ S^2 \right] - \left( E[S] \right)^2 \end{aligned}$$

問2

$$\begin{aligned} \frac{dM_X(t)}{dt} &= \lambda e^t \exp \left( \lambda (e^t-1) \right) \\ \frac{d^2 M_X(t)}{dt^2} &= \lambda e^t \left(\lambda e^t + 1 \right) \exp \left( \lambda (e^t-1) \right) \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} \mu_X &=M_X'(0) \\ &= \lambda \\ E \left[ X^2 \right] &=M_X''(0) \\ &= \lambda (\lambda + 1) \\ \sigma_X^2 &= E \left[ X^2 \right] - \mu_X^2 \\ &= \lambda \end{aligned}$$

を得る。

問3

$$\begin{aligned} M_Y(t) &= \sum_{y=1}^\infty e^{yt} \cdot (1-q) q^{y-1} \\ &= \frac{1-q}{q} \sum_{y=1}^\infty \left( q e^t \right)^y \\ &= \frac{1-q}{q} \cdot q e^t \cdot \frac{1}{1-qe^t} \\ &= \frac{(1-q)e^t}{1-qe^t} \end{aligned}$$

ただし、$qe^t<1$ である。

問4

$X,Y$ が独立なので $e^{tX},e^{tY}$ も独立であり、

$$\begin{aligned} M_Z(t) &= E \left[ e^{tZ} \right] \\ &= E \left[ e^{t(X+Y)} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} e^{tY} \right] \\ &= E \left[ e^{tX} \right] E \left[ e^{tY} \right] \\ &= M_X(t) M_Y(t) \end{aligned}$$

を得る。

問5

(1)

ここでは $\lambda=1$, $q=1/2$ であり、$X$ の分布は問2から変更されていない。従って

$$M_X(t)=\exp(e^t-1),\qquad M_Y(t)=\frac{e^t}{2-e^t},$$

$$M_Z(t)=\frac{e^t\exp(e^t-1)}{2-e^t}\qquad(t<\log2).$$

(2)

$$M_Z'(t)=M_Z(t)\left(1+e^t+\frac{e^t}{2-e^t}\right).$$

(3)

$$\mu_Z=M_Z'(0)=1+1+1=\boxed3.$$

$E[X]+E[Y]=1+1/(1-q)=3$ からも確認できる。