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東京工業大学 工学院 システム制御系 2022年度 2021年8月実施 問題2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

次式で与えられる行列 AA の固有値をすべて求めよ。また、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めよ。なお、固有ベクトルは要素の絶対値の和が 11 になるように規格化すること。

A=(1−1−101−1−102).A=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&1&-1\\-1&0&2\end{pmatrix}.

問2​

問1の行列 AA の固有値のうち、絶対値が最小となるものを λ1\lambda_1、絶対値が最大となるものを λ2\lambda_2 とおく。λ1\lambda_1 および λ2\lambda_2 に対応する問1で求めた固有ベクトルをそれぞれ p,qp,q とおく。このとき、以下の方程式の解 rr のうち、そのユークリッドノルム ∥r∥\lVert r\rVert が最小となるものを求めよ。なお、I3I_3 は 3×33\times3 の単位行列である。

(A−λ2I3)r=q.(A-\lambda_2 I_3)r=q.

問3​

問2のベクトル p,q,rp,q,r を用いて、行列 P=[p q r]P=[p\ q\ r] を定義する。このとき、P−1P^{-1} および B=P−1APB=P^{-1}AP を求めよ。

問4​

問3の行列 BB を考える。非負の実数 t≥0t\ge0 に対する e−Bte^{-Bt} の全ての行列要素を求めよ。

题目描述​

给定上述矩阵 AA。

  1. 求全部特征值及相应特征向量，要求特征向量各分量的绝对值之和为 11。
  2. 设绝对值最小、最大的特征值分别为 λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2，对应的上述归一化特征向量分别为 p,qp,q。在方程 (A−λ2I3)r=q(A-\lambda_2 I_3)r=q 的全部解中，求欧氏范数最小的解 rr。
  3. 令 P=[p q r]P=[p\ q\ r]，求 P−1P^{-1} 和 B=P−1APB=P^{-1}AP。
  4. 对 t≥0t\ge0，求矩阵指数 e−Bte^{-Bt} 的全部元素。

Kai​

問1​

特性多項式は

det⁡(λI3−A)=λ(λ−2)2\det(\lambda I_3-A)=\lambda(\lambda-2)^2

なので、固有値は 0,20,2（22 は重複度 22）である。連立方程式から

ker⁡A=span⁡{(2,1,1)T},ker⁡(A−2I3)=span⁡{(0,1,−1)T}.\ker A=\operatorname{span}\{(2,1,1)^\mathsf T\},\qquad \ker(A-2I_3)=\operatorname{span}\{(0,1,-1)^\mathsf T\}.

要素の絶対値の和を 11 にすると、例えば

p=14(211),q=12(01−1)\boxed{p=\frac14\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix},\qquad q=\frac12\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}

を取れる。それぞれ全体の符号を反転したベクトルも条件を満たす。以下では上の符号を用いる。

問2​

λ2=2\lambda_2=2 であり、r=(x,y,z)Tr=(x,y,z)^\mathsf T とすると

−x−y−z=0,−y−z=12,−x=−12.-x-y-z=0,\qquad -y-z=\frac12,\qquad -x=-\frac12.

したがって一般解は

r=(12c−12−c),∥r∥2=14+c2+(c+12)2=2(c+14)2+38.r=\begin{pmatrix}\frac12\\c\\-\frac12-c\end{pmatrix},\qquad \lVert r\rVert^2=\frac14+c^2+\left(c+\frac12\right)^2 =2\left(c+\frac14\right)^2+\frac38.

最小値は c=−1/4c=-1/4 で達成されるから

r=14(2−1−1).\boxed{r=\frac14\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}}.

問3​

P=(120121412−1414−12−14),P−1=(11101−11−1−1).P=\begin{pmatrix} \frac12&0&\frac12\\ \frac14&\frac12&-\frac14\\ \frac14&-\frac12&-\frac14 \end{pmatrix},\qquad \boxed{P^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&-1\\1&-1&-1\end{pmatrix}}.

Ap=0Ap=0、Aq=2qAq=2q、Ar=q+2rAr=q+2r より

B=P−1AP=(000021002).\boxed{B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.

問4​

右下の Jordan ブロックを J=2I2+NJ=2I_2+N、N=(0100)N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} とおくと、N2=0N^2=0 だから

e−tJ=e−2t(I2−tN).e^{-tJ}=e^{-2t}(I_2-tN).

従って

e−Bt=(1000e−2t−te−2t00e−2t).\boxed{e^{-Bt}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&e^{-2t}&-te^{-2t}\\ 0&0&e^{-2t} \end{pmatrix}}.
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