東京工業大学工学院システム制御系 2021年度 2020年8月実施問題4

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

2つの独立変数 $x,t$ （ともに実数）の関数 $u(x,t)$ は、 $x$ に関するフーリエ変換が可能であるとする。ここで、 $u(x,t)$ の $x$ に関するフーリエ変換とその逆変換は次式で表される。ただし、 $i=\sqrt{-1}$ とする。

\mathcal F[u(x,t)]=U(\omega,t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}\,dx.\tag{1}

\mathcal F^{-1}[U(\omega,t)]=u(x,t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}U(\omega,t)e^{i\omega x}\,d\omega.\tag{2}

$u(x,t)$ が次の偏微分方程式と初期条件を満たすとき、以下の問いに答えよ。

\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2} \qquad(-\infty<x<\infty,\quad0\le t<\infty),\tag{3}

u(x,0)=e^{-x^2}\qquad(-\infty<x<\infty).\tag{4}

式(3)の両辺を $x$ に関してフーリエ変換し、 $U(\omega,t)$ の $t$ に関する微分方程式を導け。
$U(\omega,0)$ を求めよ。ただし、以下の式を用いてもよい。ここで、 $\alpha$ は正の実数、 $\beta$ は複素数である。

$\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha(x+\beta)^2}\,dx =\sqrt{\frac\pi\alpha}.\tag{5}$
問1と問2で得られた結果を用いて、 $U(\omega,t)$ を求めよ。
問3で求めた $U(\omega,t)$ を逆フーリエ変換し、 $u(x,t)$ を求めよ。

采用上述对称归一化的傅里叶变换与逆变换。函数 $u(x,t)$ 满足全实轴上的热方程 $u_t=u_{xx}$ ， $t\ge0$ ，初始条件为 $u(x,0)=e^{-x^2}$ 。

部分積分を2回行い、無限遠の境界項が消えることを用いると

\mathcal F[u_{xx}]=(i\omega)^2\mathcal F[u]=-\omega^2U.

従って、求める微分方程式は

\boxed{\frac{\partial U}{\partial t}=-\omega^2U}.

指数を平方完成し、式(5)を用いると

\begin{aligned} U(\omega,0) &=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-i\omega x}\,dx\\ &=\frac{e^{-\omega^2/4}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x+i\omega/2)^2}\,dx =\boxed{\frac1{\sqrt2}e^{-\omega^2/4}}. \end{aligned}

問1の解は $U(\omega,t)=C(\omega)e^{-\omega^2t}$ であり、初期値を代入して

\boxed{U(\omega,t)=\frac1{\sqrt2}\exp\left[-\left(t+\frac14\right)\omega^2\right]}.

$a=t+1/4>0$ とおく。逆変換の指数を平方完成すると

-a\omega^2+i\omega x =-a\left(\omega-\frac{ix}{2a}\right)^2-\frac{x^2}{4a}.

従って

\begin{aligned} u(x,t)&=\frac1{2\sqrt\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a\omega^2+i\omega x}\,d\omega\\ &=\frac{e^{-x^2/(4a)}}{2\sqrt\pi}\sqrt{\frac\pi a} =\boxed{\frac1{\sqrt{1+4t}}\exp\left(-\frac{x^2}{1+4t}\right)}. \end{aligned}