東京工業大学 工学院 システム制御系 2020年8月実施 問題3

标签：

• 东京科学大学
• 拉普拉斯变换
• 卷积
• 指数分布
• 特征函数

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

2つの実関数 $f(t),g(t)$ のたたみ込み積分を $h(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ とし、$h(t)$ のラプラス変換を $H(s)=\int_0^\infty e^{-st}h(t)\,dt$ とする。同様に $f(t),g(t)$ のラプラス変換をそれぞれ $F(s),G(s)$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $H(s)=F(s)G(s)$ と表わせることを示せ。

(2) $f(t),g(t)$ を以下の関数とするとき、$F(s),G(s)$ を導出せよ。

$$f(t)=\begin{cases}\sin t,&t\ge0,\\0,&t<0,\end{cases}\qquad g(t)=\begin{cases}e^{-t},&t\ge0,\\0,&t<0.\end{cases}$$

(3) (2)の $f(t),g(t)$ について、$h(t)$ を求めよ。

問2

確率変数 $X$ が指数分布に従い、その確率密度関数が次式で表されるとする。ここで $\lambda>0$、$i=\sqrt{-1}$、$E[\,]$ は期待値を表す。以下の問いに答えよ。

$$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\0,&x<0.\end{cases}$$

(1) 特性関数 $\varphi(t)=E[e^{iXt}]$ を求めよ。ただし、$t$ は実数とする。

(2) $E[X]=-i\left.\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\right|_{t=0}$ を求めよ。

(3) $E[X^3]$ を求めよ。

题目描述

问1 两个实函数 $f(t),g(t)$ 的卷积积分为

$$h(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau,$$

$h(t)$ 的拉普拉斯变换为

$$H(s)=\int_0^\infty e^{-st}h(t)\,dt.$$

同样，将 $f(t),g(t)$ 的拉普拉斯变换分别记为 $F(s),G(s)$。回答下列问题。

(1) 证明 $H(s)=F(s)G(s)$。

(2) 当 $f(t),g(t)$ 为下列函数时，推导 $F(s),G(s)$。

$$f(t)=\begin{cases}\sin t,&t\ge0,\\0,&t<0,\end{cases}\qquad g(t)=\begin{cases}e^{-t},&t\ge0,\\0,&t<0.\end{cases}$$

(3) 对 (2) 中的 $f(t),g(t)$，求 $h(t)$。

问2 随机变量 $X$ 服从指数分布，其概率密度为

$$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\0,&x<0.\end{cases}$$

这里 $\lambda>0$，$i=\sqrt{-1}$，$E[\,]$ 表示期望。回答下列问题。

(1) 求特征函数 $\varphi(t)=E[e^{iXt}]$，其中 $t$ 为实数。

(2) 求 $E[X]=-i\left.\dfrac{d\varphi(t)}{dt}\right|_{t=0}$。

(3) 求 $E[X^3]$。

Kai

問1

(1)

積分が絶対収束する $s$ の領域で積分順序を交換し、$v=t-\tau$ と変数変換すると

$$\begin{aligned} H(s)&=\int_0^\infty\int_0^t e^{-st}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau\,dt\\ &=\int_0^\infty f(\tau)\int_\tau^\infty e^{-st}g(t-\tau)\,dt\,d\tau\\ &=\int_0^\infty f(\tau)e^{-s\tau}\,d\tau \int_0^\infty g(v)e^{-sv}\,dv =\boxed{F(s)G(s)}. \end{aligned}$$

(2)

$\operatorname{Re}s>0$ で2回部分積分すると

$$F(s)=\frac1s\int_0^\infty e^{-st}\cos t\,dt =\frac1{s^2}-\frac{F(s)}{s^2}.$$

また、$G(s)$ は指数関数の積分で求まり、

$$\boxed{F(s)=\frac1{s^2+1},\qquad G(s)=\frac1{s+1}}.$$

$G(s)$ 単独の収束条件は $\operatorname{Re}s>-1$ である。

(3)

$$H(s)=\frac1{(s+1)(s^2+1)} =\frac12\left(\frac1{s+1}-\frac{s}{s^2+1}+\frac1{s^2+1}\right).$$

逆変換により

$$\boxed{h(t)=\begin{cases} \dfrac12(e^{-t}-\cos t+\sin t),&t\ge0,\\ 0,&t<0. \end{cases}}$$

問2

(1)

$$\varphi(t)=\lambda\int_0^\infty e^{-(\lambda-it)x}\,dx =\boxed{\frac\lambda{\lambda-it}}.$$

(2)

$$\varphi'(t)=\frac{i\lambda}{(\lambda-it)^2},\qquad \boxed{E[X]=-i\varphi'(0)=\frac1\lambda}.$$

(3)

$\varphi^{(3)}(t)=-6i\lambda/(\lambda-it)^4$、$\varphi^{(3)}(0)=i^3E[X^3]$ より

$$\boxed{E[X^3]=i\varphi^{(3)}(0)=\frac6{\lambda^3}}.$$