東京工業大学 工学院 システム制御系 2021年度 2020年8月実施 問題2

标签：

• 东京科学大学
• 最小二乘解与最小范数解
• 特征值与特征向量

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

行列 $A\in\mathbb R^{n\times m}$、ベクトル $b\in\mathbb R^n$ に対して、$f(x)=\lVert Ax-b\rVert$ をベクトル $x\in\mathbb R^m$ に関して最小化することを考える。ただし、$\lVert\cdot\rVert$ はユークリッドノルムを表す。また、$f(x)$ が最小となる $x$ を $x^*$ と表す。以下の各場合について、$x^*$ と $f(x^*)$ の値を求めよ。

(1)

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}.$$

(2)

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.$$

(3)

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$

問2

次の各巡回行列の3つの固有値とそれらに対応する固有ベクトルを求めよ。固有ベクトルの第一要素は $1$ とし、第二要素と第三要素は、ある $r>0$ および $\theta\in[0,2\pi)$ を用いて極形式 $re^{i\theta}$ で表すこと。ただし、$i=\sqrt{-1}$ とする。

(1)

$$A_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}.$$

(2)

$$A_2=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}.$$

(3) $a,b,c$ を定数として

$$A_3=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}.$$

题目描述

1. 对给定的三组 $A,b$，求使欧氏范数 $f(x)=\lVert Ax-b\rVert$ 最小的向量 $x^*$，以及最小值 $f(x^*)$。
2. 对上述三个循环矩阵 $A_1,A_2,A_3$，分别求三个特征值及对应特征向量；$a,b,c$ 为常数。特征向量第一分量取 $1$，第二、第三分量须用 $re^{i\theta}$ 表示，其中 $r>0$、$0\le\theta<2\pi$。

Kai

問1

(1)

$Ax=b$ は $x_1+2x_2=1$、$x_1+3x_2=0$ だから

$$\boxed{x^*=\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix},\qquad f(x^*)=0}.$$

(2)

$x_1=1$、$x_2=1$ は3本の方程式を全て満たすので

$$\boxed{x^*=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix},\qquad f(x^*)=0}.$$

(3)

$$f(x)^2=(x_1-1)^2+x_1^2+x_2^2 =2\left(x_1-\frac12\right)^2+x_2^2+\frac12.$$

従って

$$\boxed{x^*=\begin{pmatrix}\frac12\\0\end{pmatrix},\qquad f(x^*)=\frac1{\sqrt2}}.$$

問2

$\omega=e^{2\pi i/3}$ とおく。$\omega^3=1$、$1+\omega+\omega^2=0$ であり、次の3本のベクトルを用いる。

$$v_0=\begin{pmatrix}1\\e^{i0}\\e^{i0}\end{pmatrix},\qquad v_1=\begin{pmatrix}1\\e^{2\pi i/3}\\e^{4\pi i/3}\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}1\\e^{4\pi i/3}\\e^{2\pi i/3}\end{pmatrix}.$$

(1)

直接乗算すると $A_1v_0=v_0$、$A_1v_1=\omega v_1$、$A_1v_2=\omega^2v_2$ である。従って固有値と固有ベクトルの組は

$$\boxed{(1,v_0),\quad(\omega,v_1),\quad(\omega^2,v_2)}.$$

(2)

$A_2=A_1-A_1^2$ より、上の固有ベクトルに対応する固有値はそれぞれ $0$、$\omega-\omega^2=i\sqrt3$、$\omega^2-\omega=-i\sqrt3$。従って

$$\boxed{(0,v_0),\quad(i\sqrt3,v_1),\quad(-i\sqrt3,v_2)}.$$

(3)

$A_3=aI_3+bA_1+cA_1^2$ なので

$$\boxed{(a+b+c,v_0),\quad (a+b\omega+c\omega^2,v_1),\quad (a+b\omega^2+c\omega,v_2)}.$$

固有値が重複する場合にも、この3本は互いに独立な固有ベクトルである。