東京工業大学工学院システム制御系 2021年度 2020年8月実施問題1

标签：

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

(1) 次の極限値を求めよ。

\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).

(2) 次の $x,y$ の関数 $z$ の全微分 $dz$ を求めよ。ただし、 $x>0$ 、 $y>0$ とする。

z=x^3+y^3+\log_x y.

(3) 次の複素変数 $z$ についての複素積分を求めよ。ただし積分路 $C$ は、複素平面上の $|z|=2$ で表される円周上を反時計回りに一周する経路とする。

\int_C\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz.

3次元空間に直交座標系 $xyz$ をとる。 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ で表される球体 $S$ と、 $x^2+y^2\le ax$ で表される円柱体 $P$ を考える。ただし、 $a>0$ とする。円柱体 $P$ のうち、球体 $S$ の内部にある部分の体積を求めよ。

(1) 求 $x\to\infty$ 时 $\sqrt{x^2+x}-x$ 的极限；(2) 求 $z=x^3+y^3+\log_x y$ 的全微分，其中 $x,y>0$ ；(3) 沿圆周 $|z|=2$ 逆时针一周，计算 $\int_C e^z/[z(z+1)]\,dz$ 。
设 $a>0$ ，求球体 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ 与圆柱体 $x^2+y^2\le ax$ 的公共部分体积。

分子を有理化すると

\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac1{\sqrt{1+1/x}+1}\longrightarrow\boxed{\frac12}.

$\log_x y=\log y/\log x$ の定義域 $x>0$ 、 $x\ne1$ 、 $y>0$ において

\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2-\frac{\log y}{x(\log x)^2},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=3y^2+\frac1{y\log x}.

従って

\boxed{dz=\left(3x^2-\frac{\log y}{x(\log x)^2}\right)dx +\left(3y^2+\frac1{y\log x}\right)dy}.

$C$ の内部には単純極 $z=0,-1$ があり、それぞれの留数は $1,-e^{-1}$ である。留数定理より

\boxed{\int_C\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz=2\pi i(1-e^{-1})}.

領域は $y=0$ および $z=0$ に関して対称である。 $y\ge0$ 、 $z\ge0$ の部分を極座標 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ で表すと

0\le\theta\le\frac\pi2,\qquad 0\le r\le a\cos\theta,\qquad 0\le z\le\sqrt{a^2-r^2}.

したがって

\begin{aligned} V&=4\int_0^{\pi/2}\int_0^{a\cos\theta}\sqrt{a^2-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\ &=\frac{4a^3}{3}\int_0^{\pi/2}(1-\sin^3\theta)\,d\theta\\ &=\frac{4a^3}{3}\left(\frac\pi2-\frac23\right) =\boxed{\frac{2a^3}{9}(3\pi-4)}. \end{aligned}