東京工業大学 工学院 システム制御系 2020年8月実施 問題1

标签：

• 东京科学大学
• 极限
• 微分
• 二重积分
• 留数定理

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

(1) 次の極限値を求めよ。

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).$$

(2) 次の $x,y$ の関数 $z$ の全微分 $dz$ を求めよ。ただし、$x>0$、$y>0$ とする。

$$z=x^3+y^3+\log_x y.$$

(3) 次の複素変数 $z$ についての複素積分を求めよ。ただし積分路 $C$ は、複素平面上の $|z|=2$ で表される円周上を反時計回りに一周する経路とする。

$$\int_C\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz.$$

問2

3次元空間に直交座標系 $xyz$ をとる。$x^2+y^2+z^2\le a^2$ で表される球体 $S$ と、$x^2+y^2\le ax$ で表される円柱体 $P$ を考える。ただし、$a>0$ とする。円柱体 $P$ のうち、球体 $S$ の内部にある部分の体積を求めよ。

题目描述

问1

(1) 求下列极限：

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right).$$

(2) 求下列关于 $x,y$ 的函数 $z$ 的全微分 $dz$，其中 $x>0,y>0$。

$$z=x^3+y^3+\log_x y.$$

(3) 求下列复变量 $z$ 的复积分。路径 $C$ 是沿复平面圆周 $|z|=2$ 逆时针一周的路径。

$$\int_C\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz.$$

问2 在三维空间中取直角坐标系 $xyz$，考虑球体 $S:x^2+y^2+z^2\le a^2$ 和圆柱体 $P:x^2+y^2\le ax$，其中 $a>0$。求圆柱体 $P$ 位于球体 $S$ 内部的部分的体积。

Kai

問1

(1)

分子を有理化すると

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac1{\sqrt{1+1/x}+1}\longrightarrow\boxed{\frac12}.$$

(2)

$\log_x y=\log y/\log x$ の定義域 $x>0$、$x\ne1$、$y>0$ において

$$\frac{\partial z}{\partial x}=3x^2-\frac{\log y}{x(\log x)^2},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=3y^2+\frac1{y\log x}.$$

従って

$$\boxed{dz=\left(3x^2-\frac{\log y}{x(\log x)^2}\right)dx +\left(3y^2+\frac1{y\log x}\right)dy}.$$

(3)

$C$ の内部には単純極 $z=0,-1$ があり、それぞれの留数は $1,-e^{-1}$ である。留数定理より

$$\boxed{\int_C\frac{e^z}{z(z+1)}\,dz=2\pi i(1-e^{-1})}.$$

問2

領域は $y=0$ および $z=0$ に関して対称である。$y\ge0$、$z\ge0$ の部分を極座標 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ で表すと

$$0\le\theta\le\frac\pi2,\qquad 0\le r\le a\cos\theta,\qquad 0\le z\le\sqrt{a^2-r^2}.$$

したがって

$$\begin{aligned} V&=4\int_0^{\pi/2}\int_0^{a\cos\theta}\sqrt{a^2-r^2}\,r\,dr\,d\theta\\ &=\frac{4a^3}{3}\int_0^{\pi/2}(1-\sin^3\theta)\,d\theta\\ &=\frac{4a^3}{3}\left(\frac\pi2-\frac23\right) =\boxed{\frac{2a^3}{9}(3\pi-4)}. \end{aligned}$$