東京工業大学 工学院 システム制御系 2020年度 筆答専門試験（2019年8月実施）問題4

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• 东京科学大学
• 一阶常微分方程
• 积分因子
• 二阶线性常微分方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

関数 $x(t)$ に関する微分方程式の初期値問題

$$\frac{dx(t)}{dt}=ax(t)+f(t),\qquad x(0)=x_0,\qquad t\ge0$$

を考える。ただし $a,x_0$ は実定数、$f(t)$ は $t$ の連続な関数である。

(1) $f(t)=0$ のとき、$x(t)$ を $a,x_0$ を用いて表せ。

(2) $f(t)=\sin t$、$x_0=0$ のとき、$x(t)$ を求めよ。

(3) $T>0$、$z$ を実定数として、

$$f(t)=e^{a(T-t)}\left(\int_0^Te^{2a\tau}\,d\tau\right)^{-1}(z-e^{aT}x_0)$$

のとき、$x(T)$ を求めよ。

問2

関数 $x(t)$ に関する微分方程式の初期値問題

$$\frac{d^2x(t)}{dt^2}+3\frac{dx(t)}{dt}+2x(t)=c, \qquad x(0)=x_0,\qquad x'(0)=v_0,\qquad t\ge0$$

を考える。ただし $x_0,v_0,c$ は実定数である。

(1) $x_0=3,v_0=0,c=0$ のとき、$x(t)$ を求めよ。

(2) $c=4$ のとき、$\lim_{t\to\infty}x(t)$ を求めよ。

题目描述

问1：考虑 $x'=ax+f(t)$、$x(0)=x_0$、$t\ge0$，其中 $a,x_0$ 为实常数，$f$ 连续。(1) $f=0$ 时求 $x(t)$。(2) $f=\sin t,x_0=0$ 时求解。(3) $T>0,z$ 为实常数，且 $f(t)=e^{a(T-t)}(\int_0^Te^{2a\tau}\,d\tau)^{-1}(z-e^{aT}x_0)$，求 $x(T)$。

问2：考虑 $x''+3x'+2x=c$、$x(0)=x_0$、$x'(0)=v_0$、$t\ge0$。(1) $x_0=3,v_0=0,c=0$ 时求解。(2) $c=4$ 时求 $t\to\infty$ 的极限。

Kai

問1

積分因子 $e^{-at}$ を用いると、初期値問題の解は

$$x(t)=e^{at}x_0+\int_0^te^{a(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau$$

である。

(1) $f=0$ を代入して、

$$\boxed{x(t)=x_0e^{at}}.$$

(2) $f(t)=\sin t,x_0=0$ より、

$$x(t)=e^{at}\int_0^te^{-a\tau}\sin\tau\,d\tau =\boxed{\frac{e^{at}-\cos t-a\sin t}{a^2+1}}.$$

(3) $I=\int_0^Te^{2a\tau}\,d\tau$ とおくと、$T>0$ より $I>0$ である。したがって、

$$\begin{aligned} x(T) &=e^{aT}x_0+\frac{z-e^{aT}x_0}{I} \int_0^Te^{2a(T-\tau)}\,d\tau\\ &=e^{aT}x_0+\frac{z-e^{aT}x_0}{I} \int_0^Te^{2as}\,ds =\boxed{z}. \end{aligned}$$

ここで $s=T-\tau$ と置換した。この計算は $a=0$ の場合にも成立する。

問2

(1) 特性方程式は $\lambda^2+3\lambda+2=(\lambda+1)(\lambda+2)=0$ であるから、$x=Ae^{-t}+Be^{-2t}$。初期条件より

$$A+B=3,\qquad -A-2B=0$$

なので $A=6,B=-3$ を得る。したがって、

$$\boxed{x(t)=6e^{-t}-3e^{-2t}}.$$

(2) 定数特解は $x=2$。一般解と初期条件から、

$$x(t)=2+(2x_0+v_0-4)e^{-t}+(2-x_0-v_0)e^{-2t}.$$

両指数項は $t\to\infty$ で $0$ となるので、初期値によらず

$$\boxed{\lim_{t\to\infty}x(t)=2}.$$