東京工業大学 工学院 システム制御系 2019年8月実施 筆答専門試験問題3

标签：

• 东京科学大学
• 拉普拉斯变换
• 卷积
• 傅里叶变换

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

実関数 $f(t),g(t)$ のラプラス変換が、それぞれ (1)、(2) の $F(s),G(s)$ であるとき、$f(t),g(t)$ を求めよ。

$$\text{(1)}\quad F(s)=\frac1{s^2+5s+4},\qquad \text{(2)}\quad G(s)=\frac1{s^2+4s+5}$$

問2

フーリエ変換に関する以下の問いに答えよ。

(1) 2つの実関数 $x(t),y(t)$ の畳み込み積分を

$$z(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau$$

とし、そのフーリエ変換を

$$Z(f)=\int_{-\infty}^{\infty}z(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$$

とするとき、$Z(f)=X(f)Y(f)$ となることを示せ。ただし $j^2=-1$ であり、$X(f),Y(f)$ はそれぞれ $x(t),y(t)$ のフーリエ変換を表す。

(2)

$$r(t)=\begin{cases}1,&|t|\le\frac12,\\0,&|t|>\frac12\end{cases}$$

とするとき、$r(t)$ 同士を畳み込み積分した関数

$$w(t)=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)r(t-\tau)\,d\tau$$

を求め、その概形を図示せよ。

(3) $w(t)$ のフーリエ変換 $W(f)$ を求めよ。

题目描述

问1 实函数 $f(t),g(t)$ 的拉普拉斯变换分别为 (1)、(2) 所示的 $F(s),G(s)$。求 $f(t),g(t)$。

$$\text{(1)}\quad F(s)=\frac1{s^2+5s+4},\qquad \text{(2)}\quad G(s)=\frac1{s^2+4s+5}.$$

问2 回答关于傅里叶变换的下列问题。

(1) 两个实函数 $x(t),y(t)$ 的卷积积分为

$$z(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau,$$

其傅里叶变换为

$$Z(f)=\int_{-\infty}^{\infty}z(t)e^{-j2\pi ft}\,dt.$$

证明 $Z(f)=X(f)Y(f)$。这里 $j=\sqrt{-1}$，$X(f),Y(f)$ 分别是 $x(t),y(t)$ 的傅里叶变换。

(2) 定义

$$r(t)=\begin{cases}1,&|t|\le\frac12,\\0,&|t|>\frac12.\end{cases}$$

求 $r(t)$ 与自身卷积所得函数

$$w(t)=\int_{-\infty}^{\infty}r(\tau)r(t-\tau)\,d\tau,$$

并画出概略图。

(3) 求 $w(t)$ 的傅里叶变换 $W(f)$。

Kai

問1

(1) 部分分数分解すると、

$$F(s)=\frac1{(s+1)(s+4)} =\frac13\left(\frac1{s+1}-\frac1{s+4}\right).$$

したがって、

$$\boxed{f(t)=\frac13(e^{-t}-e^{-4t})\qquad(t\ge0)}.$$

(2) 分母を平方完成すると、

$$G(s)=\frac1{(s+2)^2+1}.$$

よって、

$$\boxed{g(t)=e^{-2t}\sin t\qquad(t\ge0)}.$$

問2

(1) 積分順序の交換ができる条件の下で、$u=t-\tau$ と変数変換すると、

$$\begin{aligned} Z(f) &=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \left[\int_{-\infty}^{\infty}y(t-\tau)e^{-j2\pi ft}\,dt\right]d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j2\pi f\tau}\,d\tau \int_{-\infty}^{\infty}y(u)e^{-j2\pi fu}\,du\\ &=\boxed{X(f)Y(f)}. \end{aligned}$$

(2) 被積分関数が $1$ となるのは、区間 $[-1/2,1/2]$ と $[t-1/2,t+1/2]$ の共通部分である。したがって $w(t)$ はその長さに等しく、

$$\boxed{w(t)=\begin{cases}1-|t|,&|t|\le1,\\0,&|t|>1.\end{cases}}$$

概形は $(-1,0),(0,1),(1,0)$ を結ぶ三角形で、区間 $[-1,1]$ の外では $0$ となる。

(3) $r(t)$ のフーリエ変換は

$$R(f)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-j2\pi ft}\,dt =\begin{cases}\dfrac{\sin(\pi f)}{\pi f},&f\ne0,\\1,&f=0.\end{cases}$$

(1) より $W(f)=R(f)^2$ なので、

$$\boxed{W(f)=\begin{cases}\left(\dfrac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\ne0,\\1,&f=0.\end{cases}}$$