東京工業大学 工学院 システム制御系 2019年8月実施 筆答専門試験問題2

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• 东京科学大学
• 矩阵秩
• 矩阵指数
• 特征值与特征向量
• 奇异值分解

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

(1) $a$ を実数として以下の行列 $A$ を考える。

$$A=\begin{pmatrix}0&1&-a\\1&1&0\\a&0&1\end{pmatrix}$$

$A$ が正則にならない条件を述べよ。また、このときの $A$ の核空間（$A\boldsymbol x=\boldsymbol0$ を満たすベクトル $\boldsymbol x$ のなす空間）の次元を求め、その理由を述べよ。

(2) 以下の行列 $A$ とベクトル $\boldsymbol x$ を考える。

$$A=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}$$

実数 $t\ge0$ に対してベクトル $\boldsymbol y(t)=\exp(At)\boldsymbol x$ と $\lim_{t\to\infty}\boldsymbol y(t)$ を求めよ。

問2

以下の行列 $A$ を考える。

$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}$$

(1) 行列 $B=AA^{\mathsf T}$ の固有値と正規化した固有ベクトルの組をすべて求めよ。ここで $\mathsf T$ は転置を表す。

(2) 行列 $C=A^{\mathsf T}A$ の固有値と正規化した固有ベクトルの組をすべて求めよ。

(3) 行列 $B$ の固有ベクトルを適切に並べて構成した直交行列を $U$、行列 $C$ の固有ベクトルを適切に並べて構成した直交行列を $V$ とすると、行列 $A$ を $A=UWV^{\mathsf T}$ という形で表せる。このとき行列 $W$ を求めよ。

题目描述

问1

(1) 设 $a$ 为实数，考虑矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0&1&-a\\1&1&0\\a&0&1\end{pmatrix}.$$

写出 $A$ 不可逆的条件。求此时 $A$ 的核空间，即满足 $A\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 的向量 $\boldsymbol x$ 所构成空间的维数，并说明理由。

(2) 考虑矩阵与向量

$$A=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}.$$

对实数 $t\ge0$，求向量 $\boldsymbol y(t)=\exp(At)\boldsymbol x$ 及 $\lim_{t\to\infty}\boldsymbol y(t)$。

问2 考虑矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$

(1) 求矩阵 $B=AA^{\mathsf T}$ 的全部特征值及对应的归一化特征向量组。其中 $\mathsf T$ 表示转置。

(2) 求矩阵 $C=A^{\mathsf T}A$ 的全部特征值及对应的归一化特征向量组。

(3) 将 $B$ 的特征向量适当排列，构成正交矩阵 $U$；将 $C$ 的特征向量适当排列，构成正交矩阵 $V$，则 $A$ 可写为 $A=UWV^{\mathsf T}$。求此时的矩阵 $W$。

Kai

問1

(1) $\det A=a^2-1$ より、正則でない条件は

$$\boxed{a=\pm1}.$$

どちらの場合も左上の $2\times2$ 小行列式は $-1\ne0$ であり、$\det A=0$ なので $\operatorname{rank}A=2$。階数・退化次数の定理より、

$$\boxed{\dim\ker A=3-2=1}.$$

(2) $A$ の固有値は $0,-2$ であり、正規化固有ベクトルを列に並べた直交行列

$$P=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

を用いると $P^{\mathsf T}AP=\operatorname{diag}(0,-2)$ である。したがって、

$$e^{At}=P\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{-2t}\end{pmatrix}P^{\mathsf T} =\frac12\begin{pmatrix}1+e^{-2t}&1-e^{-2t}\\1-e^{-2t}&1+e^{-2t}\end{pmatrix}.$$

ゆえに、

$$\boxed{\boldsymbol y(t)=\begin{pmatrix}1-e^{-2t}\\1+e^{-2t}\end{pmatrix}}, \qquad \boxed{\lim_{t\to\infty}\boldsymbol y(t)=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}.$$

問2

(1) $B=\operatorname{diag}(1,2)$ であるから、固有値と正規化固有ベクトルの組は

$$\boxed{\left(1,\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right),\qquad \left(2,\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)}.$$

(2)

$$C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&1\end{pmatrix}$$

より、求める組は

$$\boxed{ \left(1,\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right),\quad \left(2,\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right),\quad \left(0,\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right)}.$$

固有ベクトルの符号を反転してもよい。

(3) 上の順序に合わせて

$$U=I_2,\qquad V=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/\sqrt2&1/\sqrt2\\0&1/\sqrt2&-1/\sqrt2\end{pmatrix}$$

とすれば、

$$\boxed{W=U^{\mathsf T}AV=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\sqrt2&0\end{pmatrix}}.$$

実際に $UWV^{\mathsf T}=A$ が成立する。