東京工業大学 工学院 システム制御系 2019年度 筆答専門試験（2018年8月実施）問題4

标签：

• 东京科学大学
• 偏微分方程的分离变量法
• 用傅里叶正弦级数求解狄利克雷热方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

2つの独立変数 $x,t$ の関数 $u(x,t)$ が、以下の偏微分方程式、境界条件、初期条件を満たすとする。

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-u \qquad(0\le x\le1,\ 0\le t<\infty)$$

境界条件：

$$u(0,t)=u(1,t)=0\qquad(0\le t<\infty)$$

初期条件：

$$u(x,0)=\sin(\pi x)\qquad(0\le x\le1)$$

問1：$u(x,t)$ を関数 $w(x,t)$ を用いて $u(x,t)=e^{-t}w(x,t)$ と表す。$w$ が満たす偏微分方程式、境界条件、初期条件を求めよ。

問2：問1の偏微分方程式を $w(x,t)=X(x)T(t)$ とおき、変数分離法により解け。ここで $X(x),T(t)$ はそれぞれ $x,t$ の関数である。

問3：$u(x,t)$ を求めよ。

题目描述

在 $0\le x\le1,t\ge0$ 上，$u_t=u_{xx}-u$，边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$，初始条件为 $u(x,0)=\sin(\pi x)$。

问1：令 $u=e^{-t}w$，求 $w$ 所满足的偏微分方程、边界条件和初始条件。问2：令 $w=X(x)T(t)$，用分离变量法求解。问3：求 $u(x,t)$。

Kai

問1

$u=e^{-t}w$ を代入すると、

$$u_t=e^{-t}(w_t-w),\qquad u_{xx}=e^{-t}w_{xx}.$$

したがって、

$$\boxed{w_t=w_{xx}},\qquad \boxed{w(0,t)=w(1,t)=0},\qquad \boxed{w(x,0)=\sin(\pi x)}.$$

問2

$w=X(x)T(t)$ とおくと $XT'=X''T$ であり、非自明解について

$$\frac{T'}{T}=\frac{X''}{X}=-\lambda$$

とおける。よって

$$X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(1)=0, \qquad T'+\lambda T=0.$$

$\lambda\le0$ では境界条件を満たす $X$ は零関数のみである。$\lambda>0$ では $X=A\sin(\sqrt\lambda x)+B\cos(\sqrt\lambda x)$ であり、境界条件から $B=0$、$\sqrt\lambda=n\pi$（$n=1,2,\ldots$）を得る。したがって

$$w(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n e^{-n^2\pi^2t}\sin(n\pi x).$$

初期条件と正弦関数の直交性から $c_1=1$、$c_n=0$（$n\ge2$）なので、

$$\boxed{w(x,t)=e^{-\pi^2t}\sin(\pi x)}.$$

問3

問1、問2より、

$$\boxed{u(x,t)=e^{-(\pi^2+1)t}\sin(\pi x)}.$$