東京工業大学 工学院 システム制御系 2018年8月実施 筆答専門試験問題3

标签：

• 东京科学大学
• 拉普拉斯变换
• 二阶线性常微分方程
• 傅里叶级数
• 傅里叶变换的微分与时域乘法性质

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f(t)=e^{-t}\sin t$ のラプラス変換 $F(s)$ を求めよ。

(2) ラプラス変換を用いて次の常微分方程式の $t\ge0$ における解 $y(t)$ を求めよ。ただし $y(0)=0$、$y'(0)=1$ とする。

$$\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=0$$

問2

$-\frac12\le t\le\frac12$ の範囲で $f(t)=t^2$ で表される周期 $1$ の周期関数を、次式のようにフーリエ級数展開するとき、フーリエ係数 $a_k,b_k$ を求めよ。

$$f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\cos(2\pi kt) +\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin(2\pi kt)$$

問3

なめらかな関数 $f(t)$ のフーリエ変換が

$$\mathcal F[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

で求められるとき、次式が成り立つことを示せ。ただし $i^2=-1$ であり、$t\to\pm\infty$ のとき $f(t)\to0$ とする。

$$\mathcal F\!\left[\frac{d}{dt}f(t)\right](\omega) =i\omega\mathcal F[f(t)](\omega)$$

题目描述

问1 回答下列问题。

(1) 求函数 $f(t)=e^{-t}\sin t$ 的拉普拉斯变换 $F(s)$。

(2) 用拉普拉斯变换求下列常微分方程在 $t\ge0$ 的解 $y(t)$，初始条件为 $y(0)=0$、$\left.dy/dt\right|_{t=0}=1$。

$$\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=0.$$

问2 周期为1的周期函数在 $-1/2\le t\le1/2$ 内为 $f(t)=t^2$。将其按下式展开为傅里叶级数，求系数 $a_k,b_k$。

$$f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\cos(2\pi kt) +\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin(2\pi kt).$$

问3 光滑函数 $f(t)$ 的傅里叶变换定义为

$$\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.$$

证明下式成立。这里 $i=\sqrt{-1}$，且在 $t=\pm\infty$ 时有 $f(t)\to0$。

$$\mathcal F\!\left[\frac{d}{dt}f(t)\right]=i\omega\mathcal F[f(t)].$$

Kai

問1

(1) ラプラス変換の定義より、

$$F(s)=\int_0^\infty e^{-(s+1)t}\sin t\,dt =\boxed{\frac1{(s+1)^2+1}},\qquad \operatorname{Re}s>-1.$$

(2) $Y(s)=\mathcal L[y](s)$ とおく。初期条件を用いて方程式をラプラス変換すると、

$$s^2Y(s)-1+2sY(s)+2Y(s)=0, \qquad Y(s)=\frac1{(s+1)^2+1}.$$

(1) より、

$$\boxed{y(t)=e^{-t}\sin t\qquad(t\ge0)}.$$

問2

定数項は1周期の平均値であるから、

$$\boxed{a_0=\int_{-1/2}^{1/2}t^2\,dt=\frac1{12}}.$$

$k\ge1$ については、偶奇性と部分積分により、

$$\begin{aligned} a_k &=2\int_{-1/2}^{1/2}t^2\cos(2\pi kt)\,dt\\ &=4\left[ \frac{t^2\sin(2\pi kt)}{2\pi k} +\frac{2t\cos(2\pi kt)}{(2\pi k)^2} -\frac{2\sin(2\pi kt)}{(2\pi k)^3} \right]_0^{1/2}\\ &=\boxed{\frac{(-1)^k}{\pi^2k^2}},\\ b_k&=2\int_{-1/2}^{1/2}t^2\sin(2\pi kt)\,dt=\boxed{0}. \end{aligned}$$

よって、

$$f(t)=\frac1{12}+\frac1{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(2\pi kt).$$

問3

部分積分と $f(t)\to0$ を用いると、

$$\begin{aligned} \mathcal F[f'](\omega) &=\left[f(t)e^{-i\omega t}\right]_{-\infty}^{\infty} +i\omega\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\boxed{i\omega\mathcal F[f](\omega)}. \end{aligned}$$