東京工業大学工学院システム制御系 2019年度筆答専門試験（2018年8月実施）問題3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

(1) 関数 $f(t)=e^{-t}\sin t$ のラプラス変換 $F(s)$ を求めよ。

(2) ラプラス変換を用いて次の常微分方程式の $t\ge0$ における解 $y(t)$ を求めよ。ただし $y(0)=0$ 、 $y'(0)=1$ とする。

\frac{d^2y}{dt^2}+2\frac{dy}{dt}+2y=0

$-\frac12\le t\le\frac12$ の範囲で $f(t)=t^2$ で表される周期 $1$ の周期関数を、次式のようにフーリエ級数展開するとき、フーリエ係数 $a_k,b_k$ を求めよ。

f(t)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\cos(2\pi kt) +\sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin(2\pi kt)

なめらかな関数 $f(t)$ のフーリエ変換が

\mathcal F[f(t)](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt

で求められるとき、次式が成り立つことを示せ。ただし $i^2=-1$ であり、 $t\to\pm\infty$ のとき $f(t)\to0$ とする。

\mathcal F\!\left[\frac{d}{dt}f(t)\right](\omega) =i\omega\mathcal F[f(t)](\omega)

问1：(1) 求 $e^{-t}\sin t$ 的拉普拉斯变换。(2) 用拉普拉斯变换求 $y''+2y'+2y=0$ 在 $t\ge0$ 、 $y(0)=0,y'(0)=1$ 下的解。

问2：将区间 $[-1/2,1/2]$ 上等于 $t^2$ 的周期 $1$ 函数按题给形式展开，求 $a_k,b_k$ 。题给常数项为 $a_0$ 。

问3：在 $\mathcal F[f](\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$ 的约定下，利用光滑函数 $f$ 在两端趋于零的条件，证明 $\mathcal F[f']=i\omega\mathcal F[f]$ 。

(1) ラプラス変換の定義より、

F(s)=\int_0^\infty e^{-(s+1)t}\sin t\,dt =\boxed{\frac1{(s+1)^2+1}},\qquad \operatorname{Re}s>-1.

(2) $Y(s)=\mathcal L[y](s)$ とおく。初期条件を用いて方程式をラプラス変換すると、

s^2Y(s)-1+2sY(s)+2Y(s)=0, \qquad Y(s)=\frac1{(s+1)^2+1}.

(1) より、

\boxed{y(t)=e^{-t}\sin t\qquad(t\ge0)}.

定数項は1周期の平均値であるから、

\boxed{a_0=\int_{-1/2}^{1/2}t^2\,dt=\frac1{12}}.

$k\ge1$ については、偶奇性と部分積分により、

\begin{aligned} a_k &=2\int_{-1/2}^{1/2}t^2\cos(2\pi kt)\,dt\\ &=4\left[ \frac{t^2\sin(2\pi kt)}{2\pi k} +\frac{2t\cos(2\pi kt)}{(2\pi k)^2} -\frac{2\sin(2\pi kt)}{(2\pi k)^3} \right]_0^{1/2} =\boxed{\frac{(-1)^k}{\pi^2k^2}},\\ b_k&=2\int_{-1/2}^{1/2}t^2\sin(2\pi kt)\,dt=\boxed{0}. \end{aligned}

よって、

f(t)=\frac1{12}+\frac1{\pi^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(2\pi kt).

部分積分と $f(t)\to0$ を用いると、

\begin{aligned} \mathcal F[f'](\omega) &=\left[f(t)e^{-i\omega t}\right]_{-\infty}^{\infty} +i\omega\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt\\ &=\boxed{i\omega\mathcal F[f](\omega)}. \end{aligned}