東京工業大学 工学院 システム制御系 2018年8月実施 筆答専門試験問題2

标签：

• 东京科学大学
• 线性方程组有解的秩判据
• 行列式
• 矩阵对角化
• 二次型

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

問1

ベクトル $(a,b,c)$ が3つのベクトル $(1,0,2)$、$(-1,1,-1)$、$(3,-2,4)$ の線形結合で表されるための $a,b,c$ についての必要十分条件を求めよ。

問2

行列

$$A=\begin{pmatrix}1&-1&x+2\\1&x-4&5\\x+5&-8&8\end{pmatrix}$$

の行列式を求め、行列式が $0$ となる $x$ をすべて求めよ。

問3

行列

$$A=\begin{pmatrix}2&0&1\\-1&2&0\\3&2&2\end{pmatrix}$$

が対角化可能かどうか判定し、その理由を述べよ。

問4

変数 $x,y$ に関する二次形式 $q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2$ を標準形 $q(x',y')=a{x'}^2+b{y'}^2$（$a,b$ は定数）に変換する座標変換を一つ求めよ。

题目描述

问1 求向量 $(a,b,c)$ 能表示为 $(1,0,2)$、$(-1,1,-1)$、$(3,-2,4)$ 三向量的线性组合时，$a,b,c$ 应满足的充要条件。

问2 求矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&-1&x+2\\1&x-4&5\\x+5&-8&8\end{pmatrix}$$

的行列式，并求使行列式等于0的所有 $x$。

问3 判断矩阵

$$A=\begin{pmatrix}2&0&1\\-1&2&0\\3&2&2\end{pmatrix}$$

是否可对角化，并说明理由。

问4 求一种坐标变换，将变量 $x,y$ 的二次型 $q(x,y)=3x^2+2xy+3y^2$ 化为标准形 $q(x',y')=a{x'}^2+b{y'}^2$，其中 $a,b$ 为常数。

Kai

問1

係数行列の拡大行列を行基本変形すると、

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&3&a\\0&1&-2&b\\2&-1&4&c\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&1&a+b\\0&1&-2&b\\0&0&0&c-2a-b\end{array}\right).$$

したがって必要十分条件は

$$\boxed{2a+b-c=0}.$$

問2

第2行から第1行を引いて行列式を展開すると、

$$\begin{aligned} \det A &=(x-3)\{8-(x+2)(x+5)\}+(3-x)\{8-(x+5)\}\\ &=-(x-3)(x+1)(x+5). \end{aligned}$$

よって、

$$\boxed{\det A=-(x-3)(x+1)(x+5)},\qquad \boxed{x=3,\ -1,\ -5}.$$

問3

特性多項式は

$$\det(\lambda I-A)=\lambda(\lambda-3)^2.$$

一方、

$$A-3I=\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&0\\3&2&-1\end{pmatrix}, \qquad \operatorname{rank}(A-3I)=2.$$

したがって $\lambda=3$ の固有空間の次元は $3-2=1$ であり、代数的重複度 $2$ より小さい。よって

$$\boxed{A\text{ は対角化できない。}}$$

問4

対称行列

$$B=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$$

の固有値 $2,4$ に対応する正規化固有ベクトルは、それぞれ $2^{-1/2}(1,-1)^{\mathsf T}$、$2^{-1/2}(1,1)^{\mathsf T}$ である。したがって

$$\boxed{ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}$$

とすれば、

$$\boxed{q=2{x'}^2+4{y'}^2}.$$